Question

（2013年四川自貢14分）如圖，已知拋物線y=ax²+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線BD交拋物線于點D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點M為拋物線上一動點，且在第三象限，順次連接點B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；

（3）在（2）中四邊形BMCA面積最大的條件下，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如答圖1，過點D作DE⊥x軸于點E，則DE=3，OE=2。

∵，∴BE=6。

∴OB=BE﹣OE=4。∴B（﹣4，0）。

∵點B（﹣4，0）、D（2，3）在拋物線y=ax²+bx﹣2（a≠0）上，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（2）在拋物線中，

令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2）。

令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）。

設(shè)點M坐標(biāo)為（m，n）（m＜0，n＜0）。

如答圖1，過點M作MF⊥x軸于點F，則MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m。

∵點M（m，n）在拋物線上，∴，代入上式得：

，

∴當(dāng)m=﹣2時，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9。

（3）假設(shè)存在這樣的⊙Q，

如答圖2所示，設(shè)直線x=﹣2與x軸交于點G，與直線AC交于點F

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

將A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：

，解得：。

∴直線AC解析式為：y=2x﹣2。

令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6。

在Rt△AGF中，由勾股定理得：

。

設(shè)Q（﹣2，q），則在Rt△AGF中，由勾股定理得：

。

設(shè)⊙Q與直線AC相切于點E，則QE=OQ=。

在Rt△AGF與Rt△QEF中，

∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF。

∴，即。

化簡得：，解得q=4或q=﹣1。

∴存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點Q的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）。

【解析】（1）如答圖1所示，利用已知條件求出點B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（2）如答圖1所示，首先求出四邊形BMCA面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值。

（3）如答圖2所示，首先求出直線AC與直線x=2的交點F的坐標(biāo)，從而確定了Rt△AGF的各個邊長；然后證明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似線段比例關(guān)系列出方程，求出點Q的坐標(biāo)。

考點：二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)最值，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)。