Question

【題目】問題背景：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：

問題解決：如圖，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，將△MOG繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MPQ，易知△MOP為等邊三角形，繼而得到點(diǎn)O到三頂點(diǎn)的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)N、O、P、Q在同一條直線上時(shí)，有ON＋OM＋OG最小，此時(shí)，∠NMQ＝75°+60°＝135°，過Q作QA⊥NM交NM的延長線于A，利用勾股定理進(jìn)行求解即可得.

如圖，將△MOG繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MPQ，

顯然△MOP為等邊三角形，

∴，OM＋OG＝OP＋PQ，

∴點(diǎn)O到三頂點(diǎn)的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，

∴當(dāng)點(diǎn)N、O、P、Q在同一條直線上時(shí)，有ON＋OM＋OG最小，

此時(shí)，∠NMQ＝75°+60°＝135°，

過Q作QA⊥NM交NM的延長線于A，則∠MAQ=90°，

∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，

∵M(jìn)Q＝MG＝4，

∴AQ＝AM＝MQcos45°=4，

∴NQ＝，

故答案為：.