Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y=于點D，過D作兩坐標軸的垂線DC、DE，連接OD．

（1）求證：AD平分∠CDE；

（2）對任意的實數(shù)b（b≠0），求證AD·BD為定值；

（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）證：由y=x＋b得   A（b，0），B（0，－b）. 

∴∠DAC=∠OAB=45 º

又DC⊥x軸，DE⊥y軸   ∴∠ACD=∠CDE=90º

∴∠ADC=45º     即AD平分∠CDE.

（2）由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形.

∴AD=CD，BD=DE.

∴AD·BD=2CD·DE=2×2=4為定值.

（3）存在直線AB，使得OBCD為平行四邊形.

若OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD.

由（1）知AO=BO，AC=CD

設OB=a (a＞0)，∴B（0，－a），D（2a，a）

∵D在y=上，∴2a·a=2   ∴a=±1(負數(shù)舍去)                  

∴B（0，－1），D（2，1）.

又B在y=x＋b上，∴b=－1

即存在直線AB:y=x－1，使得四邊形OBCD為平行四邊形.