Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，過BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與DC的延長線相交于點(diǎn)H．
（1）求證：△BEF≌△CEH；
（2）求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

在△BEF和△CEH中， ，

∴△BEF≌△CEH（AAS）；

（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE= BC= AD=2．

∴BF=1，EF= ．

∵△BEF≌△CEH，

∴BF=CH=1，EF=EH= ，DH=4，

∵∠CHE=90°，

∴DE2=EH2+DH2．

∴DE= = ．

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，由AAS證明△BEF≌△CEH即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠HCE=∠B=60°，證出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出CH= CE=1，求出EH= CG= ，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分．