Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E，連接AD，BD．
（1）由AB，BD， 圍成的曲邊三角形的面積是；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）求線段DE的長．

Answer 1

【答案】
（1） +
（2）解：由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（3）解：∵AB=10、AC=6，

∴BC= =8，

過點A作AF⊥DE于點F，則四邊形AODF是正方形，

∴AF=OD=FD=5，

∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，

∴tan∠EAF=tan∠CBA，

∴ = ，即 = ，

∴ ，

∴DE=DF+EF= +5= ．

【解析】解：（1）如圖，連接OD，
∵AB是直徑，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠ACD= ∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，
則曲邊三角形的面積是S扇形AOD+S△BOD= + ×5×5= + ，
所以答案是： + ；
【考點精析】關于本題考查的垂徑定理和扇形面積計算公式，需要了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能得出正確答案．