Question

【題目】問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度數(shù)．

（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC=85°，請你補(bǔ)全她的推理依據(jù)．
如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥CD． （）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°． （）
∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，
∴∠APE=40°，∠CPE=45°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（）
問題遷移：
（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）平行于同一條直線的兩條直線平行,兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),等量代換
（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β

（3）解：當(dāng)P在BA延長線時(shí)，如圖4所示：

過P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β﹣∠α；

當(dāng)P在AB延長線時(shí)，如圖5所示：

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α﹣∠β．

【解析】（1）平行線間出現(xiàn)折線過點(diǎn)P作PE∥AB，

如圖2所示：

∵AB∥CD，

∴PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代換）

所以答案是：平行于同一條直線的兩條直線平行|兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)|等量代換；
（2）類比第1題，過平行線間的折線折點(diǎn)，構(gòu)造出內(nèi)錯(cuò)角，轉(zhuǎn)化∠α、∠β，可得結(jié)論;
（3）類比第1題，過平行線間的折線折點(diǎn)，構(gòu)造出內(nèi)錯(cuò)角，轉(zhuǎn)化∠α、∠β，須分類討論，可得結(jié)論.

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能正確解答此題．