Question

如圖所示，AB相切⊙O于點A，直線BO交⊙O于點C、D，且OD=BD，AB=3

3

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求∠ABC的度數(shù)；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）連接OA，如圖，設⊙O的半徑為r，則OD=BD=r，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AB，在Rt△ABO中根據(jù)勾股定理得r²+（3

3

）²=（2r）²，解得r=3；
（2）在Rt△ABO中，由于OA=3，OB=6，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠ABO=30°；
（3）先利用互余得∠AOB=60°，然后根據(jù)扇形的面積公式和S_陰影部分=S_△ABO-S_扇形AOD進行計算．

解答：解：（1）連接OA，如圖，設⊙O的半徑為r，則OD=BD=r，
∵AB相切⊙O于點A，
∴OA⊥AB，
在Rt△ABO中，∵OA²+AB²=OB²，
∴r²+（3

3

）²=（2r）²，解得r=3，
∴⊙O的半徑為3；

（2）在Rt△ABO中，∵OA=3，OB=6，
∴∠ABO=30°，
即∠ABC的度數(shù)為30°；

（3）∵∠ABO=30°，
∴∠AOB=60°，
∴S_陰影部分=S_△ABO-S_扇形AOD
=

1

2

•3•3

3

-

60•π•32

360

=

9 3

2

-

3π

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和扇形的面積公式．