Question

如圖A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（8，6）點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P從A出發(fā)沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位；點(diǎn)Q從O出發(fā)沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)C，使以O(shè)、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等？請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒鐘，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，求出此時(shí)t的值；
（3）是否存在t，使△OPQ為等腰三角形？若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)△OAC≌△OAB時(shí)，C與B關(guān)于x軸對(duì)稱；當(dāng)△OAC≌△AOB時(shí)，點(diǎn)C可能在第一象限，也可能在第四象限，根據(jù)全等三角形的面積相等先求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（2）如果以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，由于∠POQ=∠AOB，那么O與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，即可求解；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①OP=OQ；②PO=PQ；③QO=QP．

解答：解：（1）坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)C，使以O(shè)、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等．理由如下：
①當(dāng)△OAC≌△OAB時(shí)，C與B關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，-6）；
②當(dāng)△OAC≌△AOB時(shí)，點(diǎn)C可能在第一象限，也可能在第四象限，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y）．
∵△OAC≌△AOB，
∴S_△OAC=S_△AOB，即

1

2

•OA•|y|=

1

2

•OA•6，
∴|y|=6，y=±6．
如果點(diǎn)C在第一象限，如圖，過點(diǎn)B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E，則BD=CE=6，
∵△ACE≌△OBD（HL），
∴AE=OD=8，
∴OE=OA-AE=18-8=10，
∴此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，6）；
如果點(diǎn)C在第四象限，易求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，-6）；
即滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，-6）或（10，6）或（10，6）；

（2）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒鐘，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似．
∵AP=3t，OQ=2t，
∴OP=18-3t．
分兩種情況：
①如果△POQ∽△AOB，那么

OP

OA

=

OQ

OB

，

18-3t

18

=

2t

10

，
解得t=

30

11

；
②如果△POQ∽△BOA，那么

OP

OB

=

OQ

OA

，

18-3t

10

=

2t

18

，
解得t=

162

37

；
故以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似時(shí)，t的值為

30

11

秒或

162

37

秒；

（3）△OPQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果OP=OQ，那么18-3t=2t，t=

18

5

；
②如果PO=PQ，如圖，過點(diǎn)P作PF⊥OQ于F，則OF=FQ=

1

2

OQ=

1

2

•2t=t．
∵在Rt△OPF中，∠OFP=90°，
∴OF=OP•cos∠POF=（18-3t）•

8

10

=

4

5

（18-3t），
∴t=

4

5

（18-3t），
解得t=

72

17

；
③如果QO=QP，如圖，過點(diǎn)Q作QG⊥OP于G，則OG=GP=

1

2

OP=

1

2

•（18-3t）=9-

3

2

t．
∵在Rt△OQG中，∠OGQ=90°，
∴OG=OQ•cos∠QOG=2t•

8

10

=

8

5

t，
∴9-

3

2

t=

8

5

t，
解得t=

90

31

．
綜上所述，所求t的值為

18

5

秒或

72

17

秒或

90

31

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查全等三角形、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．