Question

已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，⊙O經(jīng)過A，D，B三點，CB的延長線交⊙O于點E，延長AC至F，使得CF=CD，連接EF
（1）求證：AE=CE；
（2）若

CE

CD

=

3

，求證：EF為⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)DE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由∠ABE=90°得到AE為⊙O的直徑，則∠ADE=90°，接著證明DE垂直平分AC，于是利用線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到AE=CE；
（2）設(shè)CD=a，CE=

3

a，則CF=CD=AD=a，再利用勾股定理計算出DE=

2

a，EF=

6

a，則

FE

FA

=

FD

FE

=

6

3

，加上∠DFE=∠EFA，則可判斷△FDE∽△FEA，于是得到∠FDE=∠FEA=90°，然后根據(jù)切線的判斷定理得到EF為⊙O的切線．

解答：（1）證明：連結(jié)DE，如圖，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE為⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴ED⊥AC，
∵D是AC的中點，
∴DE垂直平分AC，
∴AE=CE；
（2）證明：由

CE

CD

=

3

，設(shè)CD=a，CE=

3

a，
則CF=CD=AD=a，
在Rt△CDE中，∵CD=a，CE=

3

a，
∴DE=

CE2-CD2

=

2

a，
在Rt△DEF中，∵DF=2a，DE=

2

a，
∴EF=

DF2+DE2

=

6

a，
∵

FE

FA

=

6 a

3a

=

6

3

，

FD

FE

=

2a

6 a

=

6

3

，
∴

FE

FA

=

FD

FE

，
而∠DFE=∠EFA，
∴△FDE∽△FEA，
∴∠FDE=∠FEA=90°，
∴AE⊥EF，
∴EF為⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．