Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，，，，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若，求四邊形ABCF的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）100＋.

【解析】

（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行求出BC∥AD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE＝EF，然后利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形可得四邊形BDFC是菱形，可求BD的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理可求AB的長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)的定義可求四邊形ABCF的周長(zhǎng)．

（1）證明：∵∠A＝∠ABC＝90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE＝∠DFE，

∵E是邊CD的中點(diǎn)，

∴CE＝DE，

在△BEC與△FED中，，

∴△BEC≌△FED（AAS），

∴BE＝FE，

又∵CE＝DE，

∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）解：∵BF⊥CD，四邊形BDFC是平行四邊形，

∴四邊形BDFC是菱形，

∴BD＝DF＝CF＝BC，

∵AD＝10，AF＝40，

∴DF＝4010＝30，

∴BD＝DF＝CF＝BC＝30，

∴在Rt△BAD中，AB＝，

∴四邊形ABCF的周長(zhǎng)為：40＋30×2＋＝100＋．