Question

【題目】如圖①，△ABC是等腰直角三角形，，，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時，成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)時，如圖②，成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖③，延長DB交CF于點H；

（i）求證：；

（ii）當，時，則線段FC的長為_______．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CF成立，理由見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）2.

【解析】

（l）由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AC，∠CAF＝∠BAD＝α，AD＝AF，由SAS證得△ABD≌△ACF，即可得出結(jié)論；

（2）（i）由△ABD≌△ACF，得出∠HFN＝∠ADN，證得∠HFN＋∠HNF＝90°，得出∠NHF＝90°，即可得出結(jié)論；

（ii）由正方形的性質(zhì)得出AF＝AD＝＋1，∠DAF＝90°，AD⊥AF，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝45°，BC＝AB＝2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAD＝45°＝∠ABC，得出BC∥AD，證出BC⊥AF，由等腰三角形的性質(zhì)得出AP＝BP＝CP＝BC＝1，得出PF＝AFAP＝，由勾股定理即可得出結(jié)果．

解：（l）BD＝CF成立；

理由如下：

由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AC，∠CAF＝∠BAD＝α，AD＝AF，

在△ABD和△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF；

（2）（i）證明：由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN＝∠ADN，

∵∠HNF＝∠AND，∠AND＋∠ADN＝90°，

∴∠HFN＋∠HNF＝90°，

∴∠NHF＝90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF；

（ii）解：∵四邊形ADEF是正方形，

∴AF＝AD＝＋1，∠DAF＝90°，AD⊥AF，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝45°，BC＝AB＝2，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAD＝45°＝∠ABC，

∴BC∥AD，

∴BC⊥AF，

∴AP＝BP＝CP＝BC＝1，

∴PF＝AFAP＝，

∴FC＝.