Question

14．如圖，在△AOB中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，AB=0B，A（1，3），點(diǎn)C在直線y=-x+1上．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）；
（2）點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則CD長(zhǎng)的最小值為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB=BO=x，過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在RT△AEB中利用勾股定理列出方程即可解決．
（2）分兩種情形①當(dāng)CD為邊時(shí)，CD=AB=5．②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為K，過點(diǎn)K作直線y=-x+1的垂線垂足為C，此時(shí)KC最小，CD的最小值=2KC，求出KC即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)AB=BO=x，過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，
∵A（1，3），
∴OE=1，AE=3，
∴BE=x-1，
在RT△AEB中，∵AE²+BE²=AB²，
∴3²+（x-1）²=x²，解得：x=5，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0）．
故答案為：（5，0）．
（2）①當(dāng)CD為邊時(shí)，CD=AB=5．
②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為K，則點(diǎn)K坐標(biāo)為（3，$\frac{3}{2}$），過點(diǎn)K作直線y=-x+1的垂線垂足為C，此時(shí)KC最小，CD的最小值=2KC．
設(shè)直線KC為y=x+b，把點(diǎn)K代入得b=-$\frac{3}{2}$，
∴直線KC為y=x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{4}$）
CD=2CK=2$\sqrt{（3-\frac{5}{4}）^{2}+（\frac{3}{2}+\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
∵$\frac{7\sqrt{2}}{2}$＜5，
∴CD的最小值為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)、勾股定理、平行四邊形性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用方程的思想解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，屬于中考�？碱}型．