Question

6．如圖，己知點(diǎn)A（2，0），直線(xiàn)y=2x+2交x軸于點(diǎn)B，在此直線(xiàn)上找點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)直線(xiàn)y=2x+2求得OB=2，由A（2，0），得到OA=2，AB=3，①如圖1，當(dāng)BC=AC時(shí)，△ABC為等腰三角形，過(guò)C作CD⊥AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，求得OD=$\frac{1}{2}$，于是得到C（$\frac{1}{2}$，3）；②如圖2，當(dāng)BC=AB=3時(shí)，△ABC為等腰三角形，過(guò)C作CD⊥AB，根據(jù)勾股定理求到C（-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），③如圖2，當(dāng)AC=AB=3時(shí)，△ABC為等腰三角形，根據(jù)勾股定理求得C（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

解答 解：∵直線(xiàn)y=2x+2交x軸于點(diǎn)B，
∴B（-1，0），
∴OB=2，
∵A（2，0），
∴OA=2，∴AB=3，
①如圖1，當(dāng)BC=AC時(shí)，△ABC為等腰三角形，
過(guò)C作CD⊥AB，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$，
∵C在直線(xiàn)y=2x+2上，
∴CD=3，
∴C（$\frac{1}{2}$，3）；
②如圖2，當(dāng)BC=AB=3時(shí)，△ABC為等腰三角形，
過(guò)C作CD⊥AB，
設(shè)OD=x，則CD=2x+2，
∵BD²+CD²=BC²，
∴（1+x）²+（2x+2）²=3²，
∴x=-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，（負(fù)值舍去），
∴C（-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），
③如圖2，當(dāng)AC=AB=3時(shí)，△ABC為等腰三角形，
過(guò)C作CD⊥AB，
設(shè)OD=x，則CD=2x+2，AD=2-x
∵AD²+CD²=AC²，
∴（2-x）²+（2x+2）²=3²，
∴x=$\frac{1}{5}$，（負(fù)值舍去），
∴C（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$），
綜上所述：當(dāng)△ABC為等腰三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，3），（-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．