Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：

①線段DE與AC的位置關(guān)系是 ；

②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 ；

(2)猜想論證：

當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．

Answer 1

【答案】（1）DE∥AC；S1=S2；（2）證明見解析.

【解析】

試題（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行解答;

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用"角角邊"證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;

試題解析：

（1）①線段DE與AC的位置關(guān)系是 平行 ．②S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 相等 ．

證明：如圖2，過(guò)D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過(guò)E作EM⊥AC交AC延長(zhǎng)線于M，過(guò)C作CF⊥AB交AB于點(diǎn)F．

由①可知△ADC是等邊三角形，DE∥AC，

∴DN=CF,DN=EM．

∴CF=EM．

∵∠ACB=90,∠B=30，

∴AB=2AC．

又∵AD=AC,

∴BD=AC．

∵S1=CF·BD,S2=AC·EM，

∴S1=S2．

證明：如圖3，作DG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥CE交EC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

∵∠DCE=∠ACB=90∴∠DCG+∠ACE=180．

又∵∠ACH+∠ACE=180,∴∠ACH=∠DCG．

又∵∠CHA=∠CGD=90,AC=CD,

∴△AHC≌△DGC．

∴AH=DG．

又∵CE=CB,

∴S1=S2．