Question

如圖，已知二次函數y=（x+m）²+k-m²的圖象與x軸交于兩不同點A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸的交點為C．則△ABC的外接圓與y軸的另一個交點D的坐標是

 

．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：令x=0，代入拋物線解析式，即求得點C的坐標．由求根公式求得點A、B的橫坐標，得到點A、B的橫坐標的和與積，由相交弦定理求得OD的值，從而得到點D的坐標．

解答：解：易求得點C的坐標為（0，k）
由題設可知x₁，x₂是方程（x+m）²+k-m²=0即x²+2mx+k=0的兩根，
所以x=

-2m± (-2m)2-4k

2

，
所以x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=k，
如圖，∵⊙P與y軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，
設它們的交點為點O，連接DB，
∴△AOC∽△DOB，則OD=

OA×OB

OC

=

|x1x2|

|k|

=

|k|

|k|

=1，
由題意知點C在y軸的負半軸上，從而點D在y軸的正半軸上，
所以點D的坐標為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點評：本題考查了一元二次方程的求根公式，根與系數的關系，相交弦定理，如何表示OD的長是本題中解題的關鍵．