Question

如圖，在平臺上用直徑為100mm的兩根圓鋼棒嵌在大型工件的兩側，測量大的圓形工件的直徑，設兩圓鋼棒的外側的距離為xmm，工件的直徑為Dmm．
（1）求出D（mm）與x（mm）之間的函數(shù)關系式；
（2）當圖形工件的直徑D小于圓鋼棒的直徑時，上面所求得的D與x的函數(shù)關系式還是否仍然適用？請說明理由．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質,勾股定理,切線的性質

專題：計算題

分析：（1）設三圓的圓心分別為A、B、C，連接AB，則AB過切點E，連接AC，則AC過切點F，連接BC，AN，AN交BC于M，由題意得出AB=AC=50+

D

2

，BC=x-（50+50）=x-100，AN=

D

2

-50，在△ABM中根據(jù)勾股定理得出D和x的方程，求出即可；
（2）根據(jù)（1）結合圖形仍能得出函數(shù)解析式，即可得出答案．

解答：（1）解：
如圖設三圓的圓心分別為A、B、C，連接AB，則AB過切點E，連接AC，則AC過切點F，連接BC，AN，AN交BC于M，
由題意得：AB=AC=50+

D

2

，BC=x-（50+50）=x-100，AN=

D

2

-50，
∵AC=AB，AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

（x-100）=

1

2

x-50，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB²=AM²+BM²，
∴(50+

D

2

)2=(

D

2

-50)2+(

1

2

x-50)2，
即D=

1

400

x²-

1

2

x+25．

（2）解：當圖形工件的直徑D小于圓鋼棒的直徑時，上面所求得的D與x的函數(shù)關系式能仍然適用，
因為那樣時，三圓同時與平臺相切，有兩大圓都與小圓相切時，得出的方程與（1）中的方程相同，
所有上面所求得的D與x的函數(shù)關系式能仍然適用．

點評：本題考查了相切兩圓的性質，切線的性質，勾股定理等知識點的應用，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關鍵，主要考查學生的觀察能力和構造直角三角形的能力，題目比較典型，有一定的難度．