Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y＝x交于點(diǎn)C．在線段OA上，動點(diǎn)Q以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF．若運(yùn)動時間為t秒，在運(yùn)動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）．

（1）求點(diǎn)P運(yùn)動的速度是多少？

（2）當(dāng)t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P運(yùn)動的速度是每秒2個單位長度；（2）t＝2或4；

【解析】

（1）先求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到的值，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到AP與EP的比值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的速度；

（2）分Q，P兩點(diǎn)相遇前后兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)PQ＝PE時，矩形PEFQ為正方形，由用關(guān)于t的式子表示各線段的長，然后求出t的值即可.

解：（1）∵直線y＝﹣x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴x＝0時，y＝4，y＝0時，x＝8，

∴，

當(dāng)t秒時，QO＝FQ＝t，則EP＝t，

∵EP∥BO，

∴，

∴AP＝2t，

∵動點(diǎn)Q以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動，

∴點(diǎn)P運(yùn)動的速度是每秒2個單位長度；

（2）如圖，當(dāng)PQ＝PE時，矩形PEFQ為正方形，

則∵OQ＝FQ＝t，PA＝2t，

∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，

∴8﹣3t＝t，

解得：t＝2；

如圖2，當(dāng)PQ＝PE時，矩形PEFQ為正方形，

∵OQ＝t，PA＝2t，

∴OP＝8﹣2t，

∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，

∴t＝3t﹣8，

解得：t＝4；