Question

5．已知函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交點(diǎn)為C
（1）求△ABC的面積；
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P使得S_△PAB=$\frac{4}{3}$S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）一元二次方程x²-2x-3=0的解是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而且當(dāng)x=0時(shí)的函數(shù)值是點(diǎn)C的坐標(biāo)，可由點(diǎn)的坐標(biāo)求出△ABC的面積．
（2）令點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則S_△PAB=$\frac{1}{2}$•AB•|y|=$\frac{4}{3}$S_△ABC，求出y后驗(yàn)證合理性即可．

解答 解：（1）令x²-2x-3=0，解之得：x₁=3，x₂=-1，
則點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即點(diǎn)C（0，-3），
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$•|3-（-1）|•|-3|=$\frac{1}{2}$×4×3=6
即：所求△ABC的面積為6
（2）設(shè)P（x，y），
因?yàn)?S_△PAB=$\frac{1}{2}$•AB•|y|=$\frac{4}{3}$S_△ABC，
所以 $\frac{1}{2}$•AB•|y|=$\frac{4}{3}$×6
                  y=±4
令x²-2x-3=-4，則x=1，即：P₁ （1，-4）
令x²-2x-3=4，則x=1±2$\sqrt{2}$，即P₂ （1-2$\sqrt{2}$，4），P₃ （1+2$\sqrt{2}$，4）
即所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁ （1，-4）、P₂ （1-2$\sqrt{2}$，4），P₃ （1+2$\sqrt{2}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線與x、y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法即直角坐標(biāo)系中三角形的面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．