Question

如圖，P為△ABC的BC邊上的點，PD∥AC，交AB于點D，PE∥AB，交AC于點E．已知△ABC的面積為5cm²，BC=2cm，設(shè)BP的長為x cm
（1）求△BPD的面積S₁與△CPE的面積S₂（用x表示）；
（2）求?ADPE的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求S的最大值以及此時點P的位置．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比是相似比的平方計算即可；
（2）根據(jù)?ADPE的面積S=△ABC的面積-△BPD的面積S₁-△CPE的面積S₂計算即可．

解答：解：（1）∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴（

BP

BC

）²=

S1

5

，
∵ABC的面積為5cm²，BC=2cm，
∴S₁=

5

4

x²，
同理：S₂=

5

4

（2-x）²=

5

4

x²-5x+5；

（2）∵?ADPE的面積S=△ABC的面積-△BPD的面積S₁-△CPE的面積S₂，
∴S=-

5

2

x²+5x=-

5

2

（x-1）²+

5

2

，
∴當(dāng)x=1時，S有最大值為

5

2

，此時P為BC中點．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，題目的難度中等，是中考常見題型．