【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,動點P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ,∠PCQ=90°.探究并解決下列問題:
(1)如圖1,若點P在線段AB上,且AC=1+,PA=,求線段PC的長.
(2)如圖2,若點P在AB的延長線上,猜想PA2、PB2、PC2之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(3)若動點P滿足,則的值為 .
【答案】(1)2;(2)AP2+BP2=PQ2.理由見解析;(3)或.
【解析】
(1)在等腰直角三角形ACB中,由勾股定理先求得AB的長,然后根據(jù)PA的長,可求得PB的長;過點C作CD⊥AB,垂足為D,從而可求得CD、PD的長,然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長;
(2)過點C作CD⊥AB,垂足為D,則AP=(AD+PD)=(DC+PD),PB=(DP-BD)=(PD-DC),可證明AP2+BP2=2PC2,因為在Rt△PCQ中,PQ2=2CP2,所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論;
(3)根據(jù)點P所在的位置畫出圖形,然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長(用含有CD的式子表示),然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長度即可.
解:(1)如圖①所示:
∵△ABC是等腰直直角三角形,AC=,
∴AB= ,
∵PA=,
∴PB=AB﹣PA=,
∵△ABC和△PCQ均為等腰直角三角形,
∴AC=BC,PC=CQ,∠ACB=∠PCQ,
∴∠ACP=∠BCQ,
在△APC和△BQC中,,
∴△APC≌△BQC(SAS).
∴BQ=AP=,∠CBQ=∠A=45°.
∴△PBQ為直角三角形.
∴PQ=.
∴PC=PQ=2.
故答案為:2;
(2)AP2+BP2=PQ2.理由如下:
如圖②:過點C作CD⊥AB,垂足為D.
∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,
∴CD=AD=DB.
∵AP2=(AD+PD)2=(DC+PD)2=CD2+2DCPD+PD2,
PB2=(DP﹣BD)2=(PD﹣DC)2=DC2﹣2DCPD+PD2,
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2,
∵在Rt△PCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,
∴AP2+BP2=2PC2.
∵△CPQ為等腰直角三角形,
∴2PC2=PQ2.
∴AP2+BP2=PQ2.
(3)如圖③:過點C作CD⊥AB,垂足為D.
①當點P位于點P1處時.
,
.
.
在Rt△CP1D中,由勾股定理得: ,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:,
.
②當點P位于點P2處時.
,
∴P2A=AB=DC.
在Rt△CP2D中,由勾股定理得:,
在Rt△ACD中,由勾股定理得: ,
.
綜上所述,的比值為或;
故答案為:或.
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【題目】如圖,在教學樓距地面8米高的窗口中C處,測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°,旗桿底部B點的俯角為45°.升旗時,國旗上端懸掛在距地面2米處.若國旗隨國歌聲冉冉升起,并在國歌播放40秒結(jié)束時到達旗桿頂端,則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40元,經(jīng)市場調(diào)查整理出如下信息:
①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷售量(m件)與時間(第x天)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分數(shù)據(jù)如下表:
時間(第x天) | 1 | 3 | 6 | 10 | … |
日銷售量(m件) | 198 | 194 | 188 | 180 | … |
②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價格與時間(第x天)的關(guān)系如下表:
時間(第x天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
銷售價格(元/件) | x+60 | 100 |
(1)求m關(guān)于x的一次函數(shù)表達式;
(2)設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤為y元,請寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式,并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?【提示:每天銷售利潤=日銷售量×(每件銷售價格-每件成本)】
(3)在該產(chǎn)品銷售的過程中,共有多少天銷售利潤不低于5400元,請直接寫出結(jié)果.
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【題目】在如圖所示的方格圖中,我們稱每個小正方形的頂點為“格點”,以格點為頂點的三角形叫做“格點三角形”,根據(jù)圖形,回答下列問題.
(1)圖中格點三角形A′B′C′是由格點三角形ABC通過怎樣的平移得到的?
(2)如果以直線a,b為坐標軸建立平面直角坐標系后,點A的坐標為(-3,4),請寫出格點三角形DEF各頂點的坐標,并求出三角形DEF的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某日通過高速公路收費站的汽車中,共有3000輛次繳了通行費,其中大車每輛次繳費20元,小車每輛次繳費10元.設(shè)這一天小車繳通行費的輛次為x,總的通行費收入為y元。
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,y是x的一次函數(shù)嗎?是正比例函數(shù)嗎?
(2)若小車繳通行費的輛次為1000,這天的通行費收入是多少元?
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【題目】已知菱形ABCD,對角線交點為O,延長CD至E且CD=DE.下列判斷正確個數(shù)是( 。
(1)∠AOB=90°;(2)AE=2OD;(3)∠OAE=90°;(4)∠AEO=∠CEO.
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】(9分)某餐廳中,一張桌子可坐6人,有以下兩種擺放方式:
(1)有4張桌子,用第一種擺設(shè)方式,可以坐___________人;當有 張桌子時,用第二種擺設(shè)方式可以坐___________人(用含有n的代數(shù)式表示).
(2)一天中午,餐廳要接待85位顧客共同就餐,但餐廳中只有20張這樣的長方形桌子可用,且每4張拼成一張大桌子,若你是這家餐廳的經(jīng)理,你打算選擇哪種方式來擺放餐桌,為什么?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】旺財水果店每天都會進一些草莓銷售,在一周銷售過程中他發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(單位:千克)會隨售價x(單位:元/千克)而變化,部分數(shù)據(jù)記錄如表
售價x(單位:元/千克) | 30 | 25 | 20 |
每天銷售量y(單位:千克) | 5 | 55 | 105 |
如果已知草莓每天銷量y與售價x(30.5>x>14)滿足一次函數(shù)關(guān)系.
(1)請根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出這個一次函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果進價為14元/千克,請判斷售價分別定為20元/千克和25元/千克,哪天的銷售利潤更高?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校九年級兩個班,各選派10名學生參加學校舉行的“漢字聽寫”大賽預(yù)賽,各參賽選手的成績?nèi)缦拢?/span>
九(1)班:88,91,92,93,93,93,94,98,98,100;
九(2)班:89,93,93,93,95,96,96,98,98,99.
通過整理,得到數(shù)據(jù)分析表如下:
班級 | 最高分 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
九(1)班 | 100 | m | 93 | 93 | 12 |
九(2)班 | 99 | 95 | n | p | 8.4 |
(1)直接寫出表中m、n、p的值為:m=______,n=______,p=______;
(2)依據(jù)數(shù)據(jù)分析表,有人說:“最高分在(1)班,(1)班的成績比(2)班好.”但也有人說(2)班的成績要好.請給出兩條支持九(2)班成績更好的理由;
(3)學校確定了一個標準成績,等于或大于這個成績的學生被評定為“優(yōu)秀”等級,如果九(2)班有一半的學生能夠達到“優(yōu)秀”等級,你認為標準成績應(yīng)定為______分,請簡要說明理由.
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