Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且，．給出如下定義：若平面上存在一點(diǎn)P，使是以線段為斜邊的直角三角形，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，在點(diǎn)、和中，是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”的是_________；

②點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且，當(dāng)直線上存在點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”時，求b的取值范圍；

（2）的半徑為r，點(diǎn)為點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”，若使得與有交點(diǎn)，直接寫出半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）

【解析】

（1）①利用兩點(diǎn)間的距離公式分別求得各線段平方的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；

②首先判斷點(diǎn)A、B的“直角點(diǎn)”在以點(diǎn)C為圓心，的長為半徑的上，分類求得直線與相切時，的值，即可求解；

（2）根據(jù)“直角點(diǎn)”的定義求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E、F與的位置關(guān)系，利用勾股定理即可求解．

（1）① ∵，

，，

∵，

∴，不是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”；

，，

∵，

∴，是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”；

，，

∵，

∴，是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”；

故答案為：，；

②∵，

∴線段的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)A、B的“直角點(diǎn)”在以點(diǎn)C為圓心，的長為半徑的上，

∴當(dāng)直線與相切于點(diǎn)D，與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)M、N時，如圖：

令，則，令，則，

∴，

∴∠OMN=45，CD=，

∴，

∴；

當(dāng)直線與相切于點(diǎn)E時，如圖：

同理：，

∴，

即；

綜上所述：；

（2）根據(jù)“直角點(diǎn)”的定義知：點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，2)，

∵，

，，

∵，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，2)，

∴，

，

，

∴若使得與有交點(diǎn)，直接寫出半徑r的取值范圍為：；