【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與兩軸分別交于A、B、C三點,已知點A(﹣3,0),B(1,0).點P在第二象限內(nèi)的拋物線上運動,作PD⊥x軸于點D,交直線AC于點E.
(1)b= ;c= ;
(2)求線段PE取最大值時點P的坐標(biāo),這個最大值是多少;
(3)連接AP,并以AP為邊作等腰直角△APQ,當(dāng)頂點Q恰好落在拋物線的對稱軸上時,直接寫出對應(yīng)的P點坐標(biāo).
【答案】(1)b=-2,c=3; (2)當(dāng)P時,線段PE有最大值;(3)
【解析】
(1)只需把點A、B的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c即可求得b、c的值;
(2)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a,則點E的橫坐標(biāo)也為a,則點P、E的縱坐標(biāo)就可用a的代數(shù)式表示,PE的長度也就可以用a的代數(shù)式表示,然后運用二次函數(shù)的最值性就可求出PE最大時點P的坐標(biāo).
(3)等腰直角△APQ的三邊都可能是底邊,故分三種情況進行討論,然后構(gòu)造全等三角形,得到相等線段,然后用一個字母表示一條線段,從而將點P的坐標(biāo)用該字母表示,然后代入拋物線的解析式,就可求出點P的坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),B(1,0),
∴.
解得:.
故答案為:-2、3;
(2)由(1)知拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.
則點C坐標(biāo)為(0,3),
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,
則有.
解得:.
∴直線AC的解析式為y=x+3.
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a,則點E的橫坐標(biāo)也為a.
∴yP=-a2-2a+3,yE=a+3.
∴PE=yP-yE=(-a2-2a+3)-(a+3)
=-a2-3a
=-(a+)2+.
∵-1<0,
∴當(dāng)a=-時,PE取到最大值,此時點P坐標(biāo)為
故當(dāng)P時,線段PE有最大值;
(3)Ⅰ.若AQ為等腰直角△APQ的底邊,如圖2,
則有AP=PQ,∠APQ=90°.
過點P作PG⊥OA,垂足為G,過點P作PT⊥QH,垂足為T,
∵∠PGH=∠GHT=∠PTH=90°,
∴四邊形PGHT是矩形.
∴∠GPT=90°,PT=GH,PG=HT.
∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ.
在△AGP和△QTP中,
∵
∴△AGP≌△QTP.
∴AG=TQ,PG=PT.
∴PG=GH.
∵拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸為x=,
∴OH=1.
設(shè)PG=t(t>0),則OG=GH+OH=PG+OH=t+1.
∵點P在第二象限,
∴點P的坐標(biāo)為(-t-1,t).
∵點P在拋物線y=-x2-2x+3上,
∴t=-(-t-1)2-2(-t-1)+3.
整理得:t2+t-4=0.
解得:(舍去),,
∴點P的坐標(biāo)為
Ⅱ.若PQ為等腰直角△APQ的底邊,如圖3,
則有AP=AQ,∠PAQ=90°.
過點P作PG⊥OA,垂足為G,
則有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ.
在△AGP和△QHA中
∵
∴△AGP≌△QHA.
∴PG=AH.
∵AH=AO-OH=3-1=2,
∴PG=2.
∴yP=2.
解-x2-2x+3=2得,
∵點P在第二象限,
∴點P的坐標(biāo)為(,2).
Ⅲ.若AP為等腰直角△APQ的底邊,如圖4,
則有AQ=PQ,∠AQP=90°.
過點P作PT⊥QH,垂足為T,
則有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ.
在△AHQ和△QTP中,
∵
∴△AHQ≌△QTP.
∴AH=QT,QH=PT.
∵AH=2,
∴QT=2.
設(shè)QH=PT=p(p>0),則TH=p+2,
∵點P在第二象限,
∴點P的坐標(biāo)為(-p-1,p+2).
∵點P在拋物線y=-x2-2x+3上,
∴p+2=-(-p-1)2-2×(-p-1)+3.
整理得:p2+p-2=0.
解得:p1=-2(舍去),p2=1,
∴點P的坐標(biāo)為(-2,3).
綜上所述:點P的坐標(biāo)為
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E、F分別是BC,CD邊上的動點,且CE+CF=4,DE和AF相交于點P,在點E,F運動的過程中,CP的最小值為_____.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中(如圖),已知拋物線與x軸交于點A(-1,0)和點B,與y軸交于點C(0,-2).
(1)求該拋物線的表達(dá)式,并寫出其對稱軸
(2)點E為該拋物線的對稱軸與x軸的交點,點F在對稱軸上,四邊形ACEF為梯形,求點F的坐標(biāo)
(3)點D為該拋物線的頂點,設(shè)點P(t, 0),且t>3,如果△BDP和△CDP的面積相等,求t的值.
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【題目】如圖,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=50°,則∠BDE= °.
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【題目】已知:如圖,點A、D、C、B在同一條直線上,AD=BC,AE=BF,CE=DF;
(1)求證: AE∥BF.
(2)若EC=ED,請判斷四邊形ECFD的形狀
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【題目】洛陽某科技公司生產(chǎn)和銷售A、B兩類套裝電子產(chǎn)品已知3套A類產(chǎn)品和2套B類產(chǎn)品的總售價是24萬元;2套A類產(chǎn)品和3套B類產(chǎn)品的總售價是26萬元公司生產(chǎn)一套A類產(chǎn)品的成品是萬元,生產(chǎn)B類產(chǎn)品的成本如下表:
套數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | |
總成本萬元 | 8 | 12 | 16 | 20 |
該公司A類產(chǎn)品和B類產(chǎn)品的銷售單價分別是多少萬元?
①公司為了方便生產(chǎn),只安排生產(chǎn)一類電子產(chǎn)品,且銷售順利,設(shè)生產(chǎn)銷售該類電子產(chǎn)品x套:公司銷售x套A類產(chǎn)品的利潤________;公司銷售x套B類產(chǎn)品的利潤________.
②怎樣安排生產(chǎn),才能使公司獲得的利潤較高?
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【題目】已知點A(m,y1)、B(m+1,y2)、C(m-3,y3)在反比例函數(shù)的圖象上,則y1、y2、y3的大小關(guān)系不可能是( )
A.y3<y2<y1B.y2<y3<y1C.y3<y1<y2D.y1<y2<y3
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【題目】如(圖1),已知經(jīng)過原點的拋物線y=ax2+bx與x軸交于另一點A(,0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點B(2,t)
(1)求拋物線的解析式;
(2)在直線OB下方的拋物線上有一點C,點C到直線OB的距離為,求點C的坐標(biāo);
(3)如(圖2),若點M在拋物線上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的條件下,是否存在點P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出點P坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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