Question

7．若三角形的3條邊長a，b，c是整數(shù)，且一邊上的高恰等于另兩條邊上的高之和，這樣的三角形叫做“玲瓏三角形”．求證：
（1）存在“玲瓏三角形”；
（2）“玲瓏三角形”中，a²+b²+c²是一個完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行證明即可；
（2）設三角形的面積為S，根據(jù)一邊上的高恰等于另兩條邊上的高之和，利用完全平方公式解答即可．

解答 證明：（1）設三角形的面積為S，設c邊上的高是另兩條高之和則$\frac{2s}{a}+\frac{2s}=\frac{2s}{c}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{c}$，
c（a+b）=ab，
當a=b=2，c=1時，滿足c（a+b）=ab，
2+1＞2，符合三角形的條件，
所以存在“玲瓏三角形”；
（2）設三角形的面積為S，設c邊上的高是另兩條高之和則$\frac{2s}{a}+\frac{2s}=\frac{2s}{c}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{c}$，
c（a+b）=ab，
b²+a²+c²=（a+b）²-2ab+c²=（a+b-c）²，
因為a、b、c都為整數(shù)，所以a+b-c為整數(shù)，
所以a²+b²+c²是一個完全平方數(shù)．

點評 此題考查三角形邊角關(guān)系，在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．