【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸的兩個交點A、B的橫坐標分別為﹣3、1,與y軸交于點C,下面四個結(jié)論:
①16a+4b+c>0:
②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函數(shù)圖象上的兩點,則y1<y2;
③c=3a;
④若△ABC是等腰三角形,則b=﹣或﹣.
其中正確的有_____.(請將正確結(jié)論的序號全部填在橫線上)
【答案】①④.
【解析】
①根據(jù)拋物線開口方向和與x軸的兩交點可知:當(dāng)x=-4時,y<0,即16a-4b+c<0;②根據(jù)圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-3,1確定對稱軸是:x=-1,可得:(﹣4.5,y3)與Q(,y2)是對稱點,所以y1<y2;③根據(jù)對稱軸和x=1時,y=0可得結(jié)論;④要使△ACB為等腰三角形,則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,先計算c的值,再聯(lián)立方程組可得結(jié)論.
解:①∵a<0,
∴拋物線開口向下,
∵圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣3,1,
∴當(dāng)x=﹣4時,y<0,
即16a﹣4b+c<0;
故①正確,符合題意;
②∵圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣3,1,
∴拋物線的對稱軸是:x=﹣1,
∵P(﹣5,y1),Q(,y2),
﹣1﹣(﹣5)=4,﹣(﹣1)=3.5,
由對稱性得:(﹣4.5,y3)與Q(,y2)是對稱點,
∴則y1<y2;
故②不正確,不符合題意;
③∵﹣=﹣1,
∴b=2a,
當(dāng)x=1時,y=0,即a+b+c=0,
∴3a+c=0,
∴c=﹣3a,
故③錯誤,不符合題意;
④要使△ACB為等腰三角形,則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
當(dāng)AB=BC=4時,
∵BO=1,△BOC為直角三角形,
又∵OC的長即為|c|,
∴c2=16﹣1=15,
∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上,
∴c= ,
與b=2a、a+b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得b=﹣;
同理當(dāng)AB=AC=4時,
∵AO=3,△AOC為直角三角形,
又∵OC的長即為|c|,
∴c2=16﹣9=7,
∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上,
∴c=,
與b=2a、a+b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得b=﹣;
同理當(dāng)AC=BC時,
在△AOC中,AC2=9+c2,
在△BOC中,BC2=c2+1,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程無實數(shù)解.
經(jīng)解方程組可知有兩個b值滿足條件.
故④正確,符合題意.
綜上所述,正確的結(jié)論是①④.
故答案是:①④.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx +3與x軸的交點為A和B,其中點A(-1,0),且點D(2,3)在該拋物線上.
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)點P是線段AB上的動點(點P不與點A,B重合),過點P作PQ⊥x軸交該拋物線于點Q,連接AQ,DQ,記點P的橫坐標為t.
①若時,求△面積的最大值;
②若△是以Q為直角頂點的直角三角形時,求所有滿足條件的點Q的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,已知點為線段上一點,分別以線段為直角邊作兩個等腰直角三角形,,連接,線段之間的數(shù)量關(guān)系為__;位置關(guān)系為_________.
(2)拓展研究:如圖2,把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),線段交于點F,則之間的關(guān)系是否仍然成立,說明理由;
(3)解決問題:如圖3,已知,連接,把線段AB繞點A旋轉(zhuǎn),若,請直接寫出線段的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個袋中均有三張除所標數(shù)值外完全相同的卡片,甲袋中的三張卡片上所標的數(shù)值分別為﹣7,﹣1,3,乙袋中的三張卡片上所標的數(shù)值分別為﹣2,1,6.先從甲袋中隨機取出一張卡片,用x表示取出的卡片上標的數(shù)值,再從乙袋中隨機取出一張卡片,用y表示取出的卡片上標的數(shù)值,把x、y分別作為點A的橫坐標、縱坐標.
(1)用適當(dāng)?shù)姆椒▽懗鳇cA(x,y)的所有情況;
(2)求點A落在第二象限的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活,開展了“第二課堂”活動,推出了以下四種選修課程:.繪畫;.唱歌;.跳舞;.演講;.書法.學(xué)校規(guī)定:每個學(xué)生都必須報名且只能選擇其中的一個課程.學(xué)校隨機抽查了部分學(xué)生,對他們選擇的課程情況進行了統(tǒng)計,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題:
(1)這次抽查的學(xué)生人數(shù)是多少人?
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(3)求扇形統(tǒng)計圖中課程所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù).
(4)如果該校共有1200名學(xué)生,請你估計該校選擇課程的學(xué)生約有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)過點E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左側(cè)),點C、D在拋物線上,∠BAD的平分線AM交BC于點M,點N是CD的中點,已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)F、G分別為x軸,y軸上的動點,順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長的最小值;
(3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點P,使△ODP中OD邊上的高為?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)矩形ABCD不動,將拋物線向右平移,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L,且直線KL平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y1=ax+b(a≠0)與反比例函數(shù)y2=(k>0),兩函數(shù)圖象交于(4,1),(﹣2,n)兩點.
(1)求a,k的值;
(2)若y2>y1>0,求x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=上,第二象限的點B在反比例函數(shù)y=上,且OA⊥OB,,BC、AD垂直于x軸于C、D,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D是△ABC的邊AB上一點,CE∥AB,DE交AC于點F,若FA=FC.
(1)求證:四邊形ADCE是平行四邊形;
(2)若AE⊥EC,EF=EC=5,求四邊形ADCE的面積.
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