Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0

（1）求證：無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）設(shè)x1，x2是該方程的兩個(gè)根，記S＝x1＋x2-x1x2，S的值能為0嗎？若能，求出此時(shí)k的值．若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）k=-1 .

【解析】試題分析：（1）分二次項(xiàng)系數(shù)為0和非0兩種情況考慮，當(dāng)k﹣1=0時(shí)，原方程為一元一次方程，解方程可得出此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)k﹣1≠0時(shí)，根據(jù)根的判別式△=b2﹣4ac，可得出△=4（k﹣1）2+4＞0，進(jìn)而可得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，綜上即可得出結(jié)論．

（2）假設(shè)能，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出 ， ，將S進(jìn)行變形代入數(shù)據(jù)即可得出分式方程，解分式方程得出k值，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）證明：①當(dāng)k﹣1=0即k=1時(shí)，方程為一元一次方程2x=2，x=1有一個(gè)解；

②當(dāng)k﹣1≠0即k≠1時(shí)，方程為一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4×2（k﹣1）=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

綜合①②得：不論k為何值，方程總有實(shí)根．

（2）解：假設(shè)能，∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的兩個(gè)根，∴ ， ，∴S=x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=0，即 ，整理得：2+2k=0，解得：k=﹣1．

經(jīng)檢驗(yàn)：k=﹣1是分式方程的解，∴S的值能為0，此時(shí)k的值為﹣1．