Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8．D是AB的中點(diǎn)，將△BCD沿BA方向以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)平移，得到△EFG，F(xiàn)G交AC于H．
（1）求證：△AGH是等腰三角形；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤10），△EFG與△ABC重合部分的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,平移的性質(zhì)

專題：

分析：（1）若要證明△AGH是等腰三角形，可轉(zhuǎn)化為：∠AHG=∠A，
（2）本題要分類討論：當(dāng)0≤t≤5依題意可得：S=S_△AME-S_△AGH，當(dāng)5≤t≤10，△EFG與△ABC重合部分的面積為△EMA的面積，利用三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答：（1）證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A，
∵△BCD沿BA方向平移，得到△EFG，
∴GH∥CD，
∴∠ACD=∠AHG，
∴∠AHG=∠A，
∴△AGH是等腰三角形；                  

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴由勾股定理得BC=6，
∵△ABC中，∠ACB=90°D是AB的中點(diǎn)，
∴S_△CDA=

1

2

S_△ABC=12，
∵△BCD沿BA方向平移，得到△EFG，
∴∠AEM=∠B，
∴∠AEM+∠A=90°，
∴∠AME=90°，
∵GH∥CD，
∴△AGH∽△ADC，
∵AG=5-t，AD=5，
∴

S△AGH

S△ADC

=(

5-t

5

)2，
∴S_△AGH=

12

25

t²-

24

5

t+12，
當(dāng)0≤t≤5依題意可得：AE=10-t，
在△AME中，∠AME=90°，
AM=AEcos∠A=

4

5

（10-t），
EM=AEsin∠A=

3

5

（10-t），
∴S=S_△AME-S_△AGH=

1

2

×

4

5

（10-t）×

3

5

（10-t）-（

12

25

t²-

24

5

t+12）=-

6

25

t²+12，
當(dāng)5≤t≤10，△EFG與△ABC重合部分的面積為△EMA的面積，
依題意可得：AE=10-t，
在△AME中，∠AME=90°，
AM=AEcos∠EAM=

4

5

（10-t），
ME=AEsin∠EAM=

3

5

 （10-t），
∴S=

1

2

×ME×AM=

1

2

×

3

5

（10-t）×

4

5

（10-t）=

6

25

 t²-

24

5

t+24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及列二次函數(shù)關(guān)系式，題目的信息量很大，牽扯到的知識(shí)點(diǎn)很多，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高．