Question

【題目】（問題解決）

一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？

小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；

思路二：將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)．

請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．

（類比探究）

如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）先利用旋轉(zhuǎn)求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，進而判斷出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的思路一的方法即可得出結(jié)論．

（1）如圖1，

將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，

∴△ABP'≌△CBP，

∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，

在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，

∴∠BPP'=45°，根據(jù)勾股定理得，PP'=BP=2，

∵AP=1，

∴AP2+PP'2=1+8=9，

∵AP'2=32=9，

∴AP2+PP'2=AP'2，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，

∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；

（2）如圖2，

將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，

∴△ABP'≌△CBP，

∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=，

在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，

∴∠BPP'=45°，根據(jù)勾股定理得，PP'=BP=，

∵AP=3，

∴AP2+PP'2=9+2=11，

∵AP'2=（）2=11，

∴AP2+PP'2=AP'2，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，

∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．