Question

如圖，點(diǎn)A、C是雙曲線位于第一象限內(nèi)一支上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)B、D是x軸上的兩點(diǎn)，且△AOB和△BCD都是等邊三角形，△AOB與△BCD的面積比是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：解題方法

分析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，設(shè)雙曲線解析式為y=

k

x

，△AOB的邊長(zhǎng)為a，△BCD的邊長(zhǎng)為b，∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，∴△AOB∽△BCD，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．可得出答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，
設(shè)雙曲線解析式為y=

k

x

，△AOB的邊長(zhǎng)為a，△BCD的邊長(zhǎng)為b．
∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，
∴△AOB∽△BCD，
∴

AE

CF

=

OB

BD

=

a

b

，
∵點(diǎn)A、C是雙曲線位于第一象限內(nèi)一支上的兩個(gè)點(diǎn)，
∴A（

a

2

，

2k

a

），C（

2a+b

2

，

2k

2a+b

），
∴AE=

2k

a

，CF=

2k

2a+b

，
∵

AE

CF

=

OB

BD

=

a

b

，
∴

2k

a

•

2a+b

2k

=

a

b

，
整理可得：a=（1+

2

）b，
∵△AOB∽△BCD，
∴

S△AOB

S△BCD

=(

OB

BD

)2=(

a

b

)2=(1+

2

)2=3+2

2

，
故

S△AOB

S△BCD

=3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)及雙曲線的性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，且計(jì)算較為繁瑣．