Question

已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C點(diǎn)重合），∠ADE=45°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出∠B=∠C，再由外角關(guān)系得出∠ADB=∠DEC，證出△ABD∽△DCE；
（2）首先由勾股定理求出BC的長，再根據(jù)△ABD∽△DCE得出CE的長，即可求出Y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：證明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°
又∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°，∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°，
∴∠ADB=∠DEC，∴△ABD∽△DCE；
（2）（7分）∵∠BAC=90°，AB=AC=1
∴BC=

12+12

=

2

，
∴DC=BC-BD=

2

-x，
∵△ABD∽△DCE，
∴

CE

BD

=

DC

AB

，即

CE

x

=

2 -x

1

，
∴CE=

2

x-x2，
∴AE=AC-CE=1-（

2

x-x2）=x²-

2

x+1，
即y=x²-

2

x+1（其中0＜x＜

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．