Question

3．如圖，設(shè)矩形ABCD的邊BC=x，DC=y，連接BD且CE⊥BD，CE=2，BD=4，則（x+y）²-3xy+2的值為10．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)和勾股定理得出BC²+DC²=x²+y²=BD²=16，證明△BCE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{CE}{DE}$=$\frac{BE}{CE}$，設(shè)BE=a，則DE=4-a，求出BE、DE，由勾股定理得出x=y=2$\sqrt{2}$，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BC²+DC²=x²+y²=BD²=16，
∵CE⊥BD，
∴△BCE∽△CDE，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{BE}{CE}$，
即CE²=DE•BE，
設(shè)BE=a，則DE=4-a，
∴2²=a（4-a），
解得：a=2，
∴BE=2，DE=2，
∴x=y=2$\sqrt{2}$，
∴（x+y）²-3xy+2=x²+y²-xy+2=4²-2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$+2=10；
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似得出BE、DE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．