Question

如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm，D為△ABC的一個(gè)外角∠ABF的平分線上一點(diǎn)，且∠ADC=45°，CD交AB于E，
（1）求證：AD=CD；
（2）求AE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）作DM⊥AB，DN⊥BC，易證DM=DN和∠1=∠2，即可證明△CDN≌△ADM，即可解題；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論和∠ADC=45°可得∠ACD=∠DAC，即可求得∠ACE=∠AEC，可得AC=AE，即可解題．

解答：（1）證明：作DM⊥AB，DN⊥BC，

∵D是∠ABF角平分線BD上點(diǎn)，
∴DM=DN，
∵∠1+∠ADC=∠DEB，∠2+∠ABC=∠DEB，∠ABC=∠ADC=45°，
∴∠1=∠2，
∵在△CDN和△ADM中，

∠1=∠2 ∠AMD=∠CND=90° DM=DN

，
∴△CDN≌△ADM，（AAS）
∴AD=CD；

（2）∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
答：AE=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CDN≌△ADM是解題的關(guān)鍵．