【題目】如圖,已知等邊ABC,點(diǎn)D在直線BC上,連接AD,作∠ADN=60°,直線DN交射線AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)CCFAB交直線DN于點(diǎn)F.

1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,∠NDB為銳角時(shí),如圖①.

①判斷∠1與∠2的大小關(guān)系,并說明理由;

②過點(diǎn)FFMBC交射線AB于點(diǎn)M,求證:CF+BE=CD

2)①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上,∠NDB為銳角時(shí),如圖②,請(qǐng)直接寫出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系;

②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上,∠NDB為鈍角或直角時(shí),如圖③,請(qǐng)直接寫出線段CFBE,CD之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1)①∠1=2,理由見解析,②證明見解析;(2)①BE=CD+CF,②CF=CD+BE

【解析】

1)①由等邊三角形的性質(zhì)和∠ADN=60°,易得∠1+ADC=120°,∠2+ADC=120°,所以∠1=2

②由條件易得四邊形BCFM為平行四邊形,得到BM=CFBC=MF,再證明△MEF≌△CDA,得到ME=CD,利用等量代換即可得證;

2)①過FFHBC,易得四邊形BCFH為平行四邊形,可得HF=BC,BH=CF,然后證明△EFH≌△DAC,得到CD=EH,利用等量代換即可得BE=CD+CF;

②過EEGBC,易得四邊形BCGE為平行四邊形,可得EG=BC,BE=CG,然后證明△EFG≌△ADC,得到CD=FG,利用等量代換即可得CF=CD+BE

1)①∠1=2,理由如下:

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ACB=60°

∴∠2+ADC=120°

又∵∠AND=60°

∴∠1+ADC=120°

∴∠1=2

②∵MFBC,CFBM

∴四邊形BCFM為平行四邊形

BM=CF,BC=MF=AC,

BCMF

∴∠1=EFM=2,∠EMF=ABC=60°

在△MEF和△CDA中,

∵∠EFM=2MF= AC,∠EMF=ACD=60°

∴△MEF≌△CDAASA

ME=CD

ME=BM+BE=CF+BE=CD

CF+BE=CD

2)①BE=CD+CF,證明如下:

如圖,過FFHBC,

CFBHFHBC,

∴四邊形BCFH為平行四邊形

HF=BC=ACBH=CF

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABC=ACB=60°

∴∠CAD+ADC=60°,∠DBE=120°,∠ACD=120°

又∵∠AND=60°,即∠BDN+ADC=60°

∴∠CAD=BDN

BDHF

∴∠HFE=BDN=CAD,∠EHF=ACD=120°

在△EFH和△DAC中,

∵∠EHF=ACD,HF=AC,∠HFE=CAD

∴△EFH≌△DACASA

EH=CD

BE=BH+EH=CF+CD

BE=CD+CF;

CF=CD+BE,證明如下:

如圖所示,過EEGBC

EGBC,CGBE

∴四邊形BCGE為平行四邊形,

EG=BC=ACBE=CG,

∵∠AND=60°,∠ACD=60°

∴∠ADC+CDE=120°,∠ADC+DAC=120°

∴∠CDE=DAC

又∵CDEG

∴∠GEF=CDE=DAC,∠EGF=DCF

AECF

∴∠DCF=ABC=60°

∴∠EGF=ABC=60°

在△EFG和△ADC中,

∵∠GEF=DAC,EG=AC,∠EGF=ACD=60°

∴△EFG≌△ADCASA

FG=CD

CF=CG+FG=BE+CD

CF=CD+BE

練習(xí)冊(cè)系列答案
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長為 ;的長為 ;

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3)若動(dòng)點(diǎn)滿足,求的值.(提示:請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)

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所以,我們經(jīng)過探索得到的結(jié)論是:任意兩個(gè)一次函數(shù)的圖象相互垂直,則的值為一個(gè)常數(shù).

1)在材料二中,=______(寫出這個(gè)常數(shù)具體的值)

2)如圖2,在矩形,點(diǎn)中點(diǎn),用兩段材料的結(jié)論,求點(diǎn)的坐標(biāo)和的垂直平分線的解析式;

3)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,用兩段材料的結(jié)論,求點(diǎn)的坐標(biāo).

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