【題目】已知:是等腰直角三角形,動點在斜邊所在的直線上,以為直角邊作等腰直角三角形,其中,探究并解決下列問題:
(1)如圖①,若點在線段上,且,,則:
①長為 ;的長為 ;
②猜想:,,三者之間的數(shù)量關系為 ;
(2)如圖②,若點在的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論依然成立,請你利用圖②給出證明過程;
(3)若動點滿足,求的值.(提示:請利用備用圖進行探求)
【答案】(1)①,;②AP2+BP2=PQ2;(2)證明見詳解;(3)的值為或.
【解析】
(1)①在等腰直角三角形ACB中,由勾股定理先求得AB的長,然后根據(jù)PA的長,可求得PB的長,再利用SAS證明△APC≌△BQC,得出BQ=AP=,∠CBQ=∠A=45°,那么△PBQ為直角三角形,依據(jù)勾股定理求出PQ=,即可得到PC;
②過點C作CD⊥AB,垂足為D,由△ACB為等腰直角三角形,可求得:CD=AD=DB,然后根據(jù)AP=DC-PD,PB=DC+PD,可證明AP2+BP2=2PC2,因為在Rt△PCQ中,PQ2=2CP2,所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論;
(2)過點C作CD⊥AB,垂足為D,則可證明AP2+BP2=2PC2,在Rt△PCQ中,PQ2=2CP2,可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論;
(3)根據(jù)點P所在的位置畫出圖形,然后依據(jù)題目中的比值關系求得PD的長(用含有CD的式子表示),然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長度即可.
解:(1)如圖①.連接BQ,
①△ABC是等腰直角三角形,AC=3,
∴AB=,
∵PA=,
∴PB=,
∵△ABC和△PCQ均為等腰直角三角形,
∴AC=BC,∠ACP=∠BCQ,PC=CQ,
∴△APC≌△BQC(SAS).
∴BQ=AP=,∠CBQ=∠A=45°.
∴△PBQ為直角三角形.
∴PQ=.
∵,
∴;
故答案為:,;
②如圖①.過點C作CD⊥AB,垂足為D.
∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,
∴CD=AD=DB.
∵AP2=(AD-PD)2=(DC-PD)2=DC2-2DCPD+PD2,
PB2=(DB+PD)2=(DC+DP)2=CD2+2DCPD+PD2,
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2,
∵在Rt△PCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,
∴AP2+BP2=2PC2.
∵△CPQ為等腰直角三角形,
∴2PC2=PQ2.
∴AP2+BP2=PQ2;
故答案為:AP2+BP2=PQ2;
(2)如圖②:過點C作CD⊥AB,垂足為D.
∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,
∴CD=AD=DB.
∵AP2=(AD+PD)2=(DC+PD)2=CD2+2DCPD+PD2,
PB2=(DP-BD)2=(PD-DC)2=DC2-2DCPD+PD2,
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2,
∵在Rt△PCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,
∴AP2+BP2=2PC2.
∵△CPQ為等腰直角三角形,
∴2PC2=PQ2.
∴AP2+BP2=PQ2;
(3)如圖③:過點C作CD⊥AB,垂足為D.
①點P位于點P1處時.
∵,
∴P1A=AB=.
在Rt△ACD中,由勾股定理得:
,
∴;
②當點P位于點P2處時.
∵,
∴P2A=AB=CD.
在Rt△ACD中,由勾股定理得:
,
∴;
綜合上述,的值為:或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4cm,BC=3cm,點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為1cm/s;點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,速度為2cm/s;連結(jié)PQ。若設運動時間為t(s)(0<t<2),解答下列問題:
(1)當t為何值時?PQ//BC?
(2)設△APQ的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關系?
(3)是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的周長和面積同時平分?若存在求出此時t的值;若不存在,說明理由。
(4)如圖2,連結(jié)PC,并把△PQC沿AC翻折,得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時刻t,使四邊形PQP'C為菱形?若存在求出此時t的值;若不存在,說明理由。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若一個四位自然數(shù)n滿足千位與個位相同,百位與十位相同,我們稱這個數(shù)為“天平數(shù)”.將“天平數(shù)”n的前兩位與后兩位交換位置得到一個新的“天平數(shù)”n′,記F(n)=,例如n=2112,n′=1221,F(xiàn)(2112)==9
(1)計算F(5335)= ;若“天平數(shù)”n滿足F(n)是一個完全平方數(shù),求F(n)的值;
(2)s、t“天平數(shù)“,其中s=,t=(1≤b<a≤9,1≤x<y≤9且a,b, xy為整數(shù)),若F(s)能被8整除,且F(s)+F(t)﹣9(y+1)=0,規(guī)定:K(s,t)=,求K(s,t)的所有結(jié)果的值.
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【題目】如圖,已知等邊△ABC,點D在直線BC上,連接AD,作∠ADN=60°,直線DN交射線AB于點E,過點C作CF∥AB交直線DN于點F.
(1)當點D在線段BC上,∠NDB為銳角時,如圖①.
①判斷∠1與∠2的大小關系,并說明理由;
②過點F作FM∥BC交射線AB于點M,求證:CF+BE=CD;
(2)①當點D在線段BC的延長線上,∠NDB為銳角時,如圖②,請直接寫出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關系;
②當點D在線段CB的延長線上,∠NDB為鈍角或直角時,如圖③,請直接寫出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關系.
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【題目】閱讀理解:法國數(shù)學家韋達在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn):如果一元二次方程的兩個根分別是,那么,.
例如:已知方程的兩根分別是,
則:,.
請同學們閱讀后利用以上結(jié)論完成以下問題:
(1)已知方程的兩根分別是,求和的值;
(2)已知方程的兩根分別是,且,求的值;
(3)若一元二次方程的一個根大于2,一個根小于2,求的取值范圍.
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【題目】如圖,O是等邊△ABC內(nèi)一點,OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′,下列結(jié)論:
①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;&
②點O與O′的距離為4;
③∠AOB=150°;
④四邊形AOBO′的面積為6+3 ;
⑤S△AOC+S△AOB=6+.
其中正確的結(jié)論是_______________.
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【題目】曉琳和爸爸到太子河公園運動,兩人同時從家出發(fā),沿相同路線前行,途中爸爸有事返回,曉琳繼續(xù)前行5分鐘后也原路返回,兩人恰好同時到家.曉琳和爸爸在整個運動過程中離家的路程y1(米),y2(米)與運動時間x(分)之間的函數(shù)關系如圖所示,下列結(jié)論:①兩人同行過程中的速度為200米/分;②m的值是15,n的值是3000;③曉琳開始返回時與爸爸相距1800米;④運動18分鐘或30分鐘時,兩人相距900米.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點,拋物線經(jīng)過點B,與直線y=x-3交于點E(8,5),且與x軸交于C,D兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上有一點M,當∠MBE=75°時,求點M的橫坐標;
(3)點P在拋物線上,在坐標平面內(nèi)是否存在點Q,使得以點P,Q,B,C為頂點的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A、B的坐標分別為(﹣5,0)、(﹣2,0).點P在拋物線y=﹣2x2+4x+8上,設點P的橫坐標為m.當0≤m≤3時,△PAB的面積S的取值范圍是_____.
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