【題目】如圖,是正內(nèi)一點(diǎn),,,,將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,連接,下列結(jié)論:①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到:②點(diǎn)與的距離為4;③;④四邊形;⑤.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤
【答案】D
【解析】
證明△BO′A≌△BOC,又∠OBO′=60°,所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到,故結(jié)論①正確;
由△OBO′是等邊三角形,可知結(jié)論②正確;
在△AOO′中,三邊長(zhǎng)為3,4,5,這是一組勾股數(shù),故△AOO′是直角三角形;進(jìn)而求得∠AOB=150°,故結(jié)論③正確;
,故結(jié)論④正確;
如圖②,將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使得AB與AC重合,點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn).利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形,將S△AOC+S△AOB轉(zhuǎn)化為S△COO″+S△AOO″,計(jì)算可得結(jié)論⑤正確.
解:由題意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3,
又∵OB=O′B,AB=BC,
∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°,
∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到,
故結(jié)論①正確;
如圖①,連接OO′,
∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,
∴△OBO′是等邊三角形,
∴OO′=OB=4.
故結(jié)論②正確;
∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.
在△AOO′中,三邊長(zhǎng)為3,4,5,這是一組勾股數(shù),
∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,
故結(jié)論③正確;
,
故結(jié)論④正確;
如圖②所示,將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使得AB與AC重合,點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn).
易知△AOO″是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,△COO″是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形,
則,
故結(jié)論⑤正確.
綜上所述,正確的結(jié)論為:①②③④⑤.
故選:D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中AB=6,AC=8,D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
(1)若BC=10,判斷四邊形AEDF的形狀并證明;
(2)在(1)的條件下,若四邊形AEDF是正方形,求BD的長(zhǎng);
(3)若∠BAC=60°,四邊形AEDF是菱形,則BD= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;連結(jié)PQ。若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<2),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí)?PQ//BC?
(2)設(shè)△APQ的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系?
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分?若存在求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由。
(4)如圖2,連結(jié)PC,并把△PQC沿AC翻折,得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP'C為菱形?若存在求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=mx﹣m與y=(m≠0)的圖象可能是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等腰中,,點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接,點(diǎn)是上一點(diǎn),連接交于點(diǎn),.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí),若,求的長(zhǎng);
(2)如圖2,連接,求證:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題的提出:
如果點(diǎn)P是銳角△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),如何確定一個(gè)位置,使點(diǎn)P到△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小?
問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:
(1)把ΔAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到連接這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問(wèn)題了,請(qǐng)你利用如圖證明:
;
問(wèn)題的解決:
(2)當(dāng)點(diǎn)P到銳角△ABC的三項(xiàng)點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時(shí),請(qǐng)你用一定的數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)此時(shí)的點(diǎn)P的位置:_____________________________;
問(wèn)題的延伸:
(3)如圖是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形,如果斜邊為2,點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)你利用以上方法,求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一個(gè)四位自然數(shù)n滿足千位與個(gè)位相同,百位與十位相同,我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“天平數(shù)”.將“天平數(shù)”n的前兩位與后兩位交換位置得到一個(gè)新的“天平數(shù)”n′,記F(n)=,例如n=2112,n′=1221,F(xiàn)(2112)==9
(1)計(jì)算F(5335)= ;若“天平數(shù)”n滿足F(n)是一個(gè)完全平方數(shù),求F(n)的值;
(2)s、t“天平數(shù)“,其中s=,t=(1≤b<a≤9,1≤x<y≤9且a,b, xy為整數(shù)),若F(s)能被8整除,且F(s)+F(t)﹣9(y+1)=0,規(guī)定:K(s,t)=,求K(s,t)的所有結(jié)果的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊△ABC,點(diǎn)D在直線BC上,連接AD,作∠ADN=60°,直線DN交射線AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,∠NDB為銳角時(shí),如圖①.
①判斷∠1與∠2的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M,求證:CF+BE=CD;
(2)①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,∠NDB為銳角時(shí),如圖②,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,∠NDB為鈍角或直角時(shí),如圖③,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與直線y=x-3交于點(diǎn)E(8,5),且與x軸交于C,D兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上有一點(diǎn)M,當(dāng)∠MBE=75°時(shí),求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在拋物線上,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,Q,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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