Question

如圖，直線l₁：y₁=-x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（m，3）為直線l₁上一點(diǎn)，另一直線l₂：y₂=

1

2

x+b過點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)和b的值；
（2）若點(diǎn)C是直線l₂與x軸的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①請(qǐng)寫出當(dāng)點(diǎn)Q在運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②求出t為多少時(shí)，△APQ的面積小于3；
③是否存在t的值，使△APQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把P（m，3）的坐標(biāo)代入直線l₁上的解析式即可求得P的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得b；
（2）根據(jù)直線l₂的解析式得出C的坐標(biāo)，①根據(jù)題意得出AQ=9-t，然后根據(jù)S=

1

2

AQ•|y_P|即可求得△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；②通過解不等式-

3

2

t+

27

2

＜3，即可求得t＞7時(shí)，△APQ的面積小于3；③分三種情況：當(dāng)PQ=PA時(shí)，則（t-7+1）²+（0-3）²=（2+1）²+（0-3）²，當(dāng)AQ=PA時(shí)，則（t-7-2）²=（2+1）²+（0-3）²，當(dāng)PQ=AQ時(shí)，則（t-7+1）²+（0-3）²=（t-7-2）²，即可求得．

解答：解；（1）∵點(diǎn)P（m，3）為直線l₁上一點(diǎn)，
∴3=-m+2，解得m=-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，3），
把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y₂=

1

2

x+b得，3=

1

2

×（-1）+b，
解得b=

7

2

；

（2）∵b=

7

2

，
∴直線l₂的解析式為y=

1

2

x+

7

2

，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-7，0），
①由直線l₁：y₁=-x+2可知A（2，0），
∴當(dāng)Q在A、C之間時(shí)，AQ=2+7-t=9-t，
∴S=

1

2

AQ•|y_P|=

1

2

×（9-t）×3=

27

2

-

3

2

t；
當(dāng)Q在A的右邊時(shí)，AQ=t-9，
∴S=

1

2

AQ•|y_P|=

1

2

×（t-9）×3=

3

2

t-

27

2

；
即△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-

3

2

t+

27

2

或S=

3

2

t-

27

2

；
②∵S＜3，
∴-

3

2

t+

27

2

＜3或

3

2

t-

27

2

＜3
解得t＞7或t＜11．
③存在；
設(shè)Q（t-7，0），
當(dāng)PQ=PA時(shí)，則（t-7+1）²+（0-3）²=（2+1）²+（0-3）²
∴（t-6）²=3²，解得t=3或t=9（舍去），
當(dāng)AQ=PA時(shí)，則（t-7-2）²=（2+1）²+（0-3）²
∴（t-9）²=18，解得t=9+3

2

或t=9-3

2

；
當(dāng)PQ=AQ時(shí)，則（t-7+1）²+（0-3）²=（t-7-2）²，
∴（t-6）²+9=（t-9）²，解得t=6．
故當(dāng)t的值為3或9+3

2

或9-3

2

或6時(shí)，△APQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積等，分類討論是解題關(guān)鍵．