【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、F、G.
(1)點(diǎn)F到△ABC的邊_______的距離相等,點(diǎn)F到△ABC的頂點(diǎn)______的距離相等.
(2)若BC=6,AD=9,求AF的值.
(3)連接CG交AD于點(diǎn)H,當(dāng)∠BAC是多少度時,△FGH為等腰三角形?
【答案】(1)AC,AB;A、B、C;(2)5;(3)45°或36°.
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì),AD平分∠BAC,AD垂直平分BC,F在AD上,根據(jù)角平分線性質(zhì)解答;EF垂直平分AC,所以F為兩邊垂直平分線的交點(diǎn).根據(jù)垂直平分線性質(zhì)解答.
(2)連接FC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AF=CF,設(shè)AF=x,則CF=x,DF=9-x,CD=BC=3,故利用Rt△FCD得到方程進(jìn)行求解;
(3)根據(jù)△FGH為等腰三角形分三種情況分別討論,根據(jù)垂直平分線與三角形的內(nèi)角和即可求解.
(1)∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),
∴AD平分∠BAC,AD垂直平分BC.
∵點(diǎn)F在AD上,
∴點(diǎn)F到AC、AB的距離相等;
∵EF垂直平分AC,AD垂直平分BC.
∴FA=FB=FC,即點(diǎn)F到A、B、C的距離相等.
故答案為 AC、AB; A、B、C.
(2)連接FC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AF=CF,
設(shè)AF=x,則CF=x,DF=9-x,CD=BC=3,
在Rt△FCD中,
即
解得x=5,
故AF=5;
(3)①當(dāng)FG=HG時,故∠GFH=∠GHF,
∵∠GFH=∠EFA,∠EFA+∠EAF=90°,
同理∠CHD+∠HCD=90°
∴∠EAF =∠HCD,
∵AD垂直平分BC,
∴∠EAF =∠BAD,
∴∠HCD=∠BAD
∵AD⊥BC,∠B=∠B
∴CG⊥AB,
又EG垂直平分AC,
∴AG=CG,
故∠BAC=45°,
②當(dāng)FH=HG時,故∠HFG=∠HGF,
∵∠GFH=∠EFA,∠EFA+∠EAF=90°,
又∠HGF+∠ECG=90°
∴∠EAF=∠ECG
∵EG垂直平分AC,∴∠ECG=∠EAG
∴此情況不存在;
③當(dāng)FH=FG時,故∠FHG=∠FGH
∵∠FHG =∠CHD,∠CHD+∠HCD=90°,
又∠HGF+∠ECG=90°
∴∠EAF=∠ECG
∴∠ECG =∠HCD,
∵AD垂直平分BC,
∴∠ECG =∠BAC
設(shè)∠BAC=a,故∠ACG=∠HCD=a,∠ACB=2a,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2a
故∠BAC+∠ABC+∠ACB=5a=180°,
解得x=36°,
綜上:∠BAC是45°或36°時,△FGH為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若整數(shù)a既使關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù),又使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+2a﹣5=0有實(shí)數(shù)解,則符合條件的所有a的和是( 。
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海南建省30年來,各項(xiàng)事業(yè)取得令人矚目的成就,以2016年為例,全省社會固定資產(chǎn)總投資約3730億元,其中包括中央項(xiàng)目、省屬項(xiàng)目、地(市)屬項(xiàng)目、縣(市)屬項(xiàng)目和其他項(xiàng)目.圖1、圖2分別是這五個項(xiàng)目的投資額不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請完成下列問題:
(1)在圖1中,先計算地(市)屬項(xiàng)目投資額為 億元,然后將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(2)在圖2中,縣(市)屬項(xiàng)目部分所占百分比為m%、對應(yīng)的圓心角為β,則m= ,β= 度(m、β均取整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是以O為圓心的半圓的直徑,半徑CO⊥AO,點(diǎn)M是上的動點(diǎn),且不與點(diǎn)A、C、B重合,直線AM交直線OC于點(diǎn)D,連結(jié)OM與CM.
(1)若半圓的半徑為10.
①當(dāng)∠AOM=60°時,求DM的長;
②當(dāng)AM=12時,求DM的長.
(2)探究:在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中,∠DMC的大小是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為使中華傳統(tǒng)文化教育更具有實(shí)效性,軍寧中學(xué)開展以“我最喜愛的傳統(tǒng)文化種類”為主題的調(diào)查活動,圍繞“在詩詞、國畫、對聯(lián)、書法、戲曲五種傳統(tǒng)文化中,你最喜愛哪一種?(必選且只選一種)”的問題,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)通過計算補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若軍寧中學(xué)共有960名學(xué)生,請你估計該中學(xué)最喜愛國畫的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠C=90°,點(diǎn)A、B分別在∠C的兩直角邊上,AC=1,BC=2.
判斷:是 .(填“有理數(shù)”或“無理數(shù)”)
畫圖:人類經(jīng)歷了漫長、曲折的歷史過程,發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)是客觀存在的.
(1)在圖中畫出長度為的線段,并說明理由;
(2)在射線CA上畫出長度為的線段.(注:保留畫圖痕跡,并把所畫線段標(biāo)注出來)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,OA是⊙O的半徑,點(diǎn)D為OA上的一動點(diǎn),過D作線段CD⊥OA交⊙O于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作⊙O的切線BC,B為切點(diǎn),連接AB,交CD于點(diǎn)E.
(1)求證:CB=CE;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到OA的中點(diǎn)時,CD剛好平分,求證:△BCE是等邊三角形;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到與點(diǎn)O重合時,若⊙O的半徑為2,且∠DCB=45°,求線段EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn),分別是等邊邊,上的動點(diǎn),點(diǎn)從頂點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動,點(diǎn)從頂點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動,兩點(diǎn)同時出發(fā),且它們的速度都相同.
(1)連接,交于點(diǎn),則在,運(yùn)動的過程中,的大小發(fā)生變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù);
(2)如圖2,若點(diǎn),Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線,上運(yùn)動,直線、交點(diǎn)為,則的大小發(fā)生變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小磊要制作一個三角形的鋼架模型,在這個三角形中,長度為x(單位:cm)的邊與這條邊上的高之和為40 cm,這個三角形的面積S(單位:cm2)隨x(單位:cm)的變化而變化.
(1)請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍);
(2)當(dāng)x是多少時,這個三角形面積S最大?最大面積是多少?
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