Question

7．設(shè)ω是一個(gè)平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過有限步作圖（簡稱尺規(guī)作圖），畫出一個(gè)正方形與ω的面積相等（簡稱等積），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱為ω的“化方”．

（1）閱讀填空
如圖①，已知矩形ABCD，延長AD到E，使DE=DC，以AE為直徑作半圓，延長CD交半圓于點(diǎn)H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFFH與ABCD等積．
理由：連接AH，EH．
∵AE為直徑∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}=\frac{DH}{DE}$，即DH²=AD×DE．
又∵DE=DC∴DH²=AD×DC．即正方形DFGH與矩形ABCD等積．
（2）類比思考
平行四邊形的“化方”思路是，先把平行四邊形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再把矩形轉(zhuǎn)化為等積的正方形．
（3）解決問題
三角形的“化方”思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的矩形（填寫圖形各稱），再轉(zhuǎn)化為等積的正方形．
如圖②，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請用尺規(guī)或借助作出與△ABC等積的正方形的一條邊．
（不要求寫具體作法，但要保留作圖痕跡）
（4）拓展探究
n邊形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n邊形轉(zhuǎn)化為n-1邊形，…，直至轉(zhuǎn)化為等積三角形，從而可以化方．
如圖③，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請用尺規(guī)或借助網(wǎng)格作出與四邊形ABCD等積的三角形（不要求寫具體作法，但要保留作圖痕跡）．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根據(jù)等量代換，可得DH²=AD×DC，據(jù)此判斷即可．
（3）首先以三角形的底為矩形的長，以三角形的高的一半為矩形的寬，將△ABC轉(zhuǎn)化為等積的矩形MBCD；然后延長MD到E，使DE=DC，以ME為直徑作半圓．延長CD交半圓于點(diǎn)H，則DH即為與△ABC等積的正方形的一條邊．
（4）首先根據(jù)AG∥EH，判斷出AG=2EH，然后根據(jù)CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，據(jù)此判斷出S_△CEF=S_△ADF，S_△CDI=S_△AEI，所以S_△BCE=S_{四邊形ABCD}，即△BCE與四邊形ABCD等積，據(jù)此解答即可．

解答 解：（1）如圖①，連接AH，EH，
∵AE為直徑，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}$=$\frac{DH}{DE}$，
即DH²=AD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH²=AD×DC，
即正方形DFGH與矩形ABCD等積．

（3）如圖2，作法：
①過A點(diǎn)作AD垂直BC于D；
②作AD的垂直平分線，取AD中點(diǎn)E；
③過E作BC平行線，作長方形BCGF，則S_矩形BCGF=S_△ABC；
其他步驟同（2）可作出其等積正方形．


（4）如圖3，作法：
①過A點(diǎn)作BD平行線l；
②延長CD交平行線與E點(diǎn)；
③連接BE，則S_{四邊形ABCD}=S_△EBC，
同（3）可作出其等積正方形．
△BCE與四邊形ABCD等積，理由如下：
∵BD∥l，
∴S_△ABD=S_△EBD，
∴S_△BCE=S_{四邊形ABCD}，
即△EBC與四邊形ABCD等積．
故答案為：△HDE、AD×DC、矩形．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了矩形、三角形的面積的求法，以及對(duì)等積轉(zhuǎn)化的理解，要熟練掌握．