Question

試求滿足方程x²-2xy+126y²=2009的所有整數(shù)對(duì)（x，y）．

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）

專題：

分析：將其看作關(guān)于x的一元二次方程，其判別式△=4y²-4×（126y²-2009）=500（4²-y²）+36的值應(yīng)為一完全平方數(shù)據(jù)此進(jìn)行推理．

解答：解：設(shè)整數(shù)對(duì)（x，y）滿足方程x²-2xy+126y²=2009，
將其看作關(guān)于x的一元二次方程，其判別式△=4y²-4×（126y²-2009）=500（4²-y²）+36的值應(yīng)為一完全平方數(shù)；
若y²＞4²，則△＜0；
若y²＜4²，則y²可取0，1²，2²，3²，相應(yīng)的△值分別為8036、7536、6036和3536，它們皆不為平方數(shù)；
因此，僅當(dāng)y²=4²時(shí)，△=500（4²-y²）+36=6²為完全平方數(shù)．
若y=4，方程（1）化為x²-8x+7=0，解得，x=1或x=7；
若y=-4，方程（1）化為 x²+8x+7=0，解得x=-1或x=-7．
綜上可知，滿足原方程的全部整數(shù)對(duì)為：（x，y）=（1，4），（7，4），（-1，-4），（-7，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了非一次不定方程組，要將一個(gè)變量看做“不變量”，轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題進(jìn)行解答．