【題目】(1)如圖,在正方形 ABCD 中,∠FAG=45°,請(qǐng)直接寫出 DG,BF 與FG 的數(shù)量關(guān)系,不需要證明.
(2)如圖,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,E,F 分別是 BC 上兩點(diǎn),∠EAF=45°,
①寫出 BE,CF,EF 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
②若將(2)中的△AEF 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置,上述結(jié)論是否仍然成立? 若不成立,直接寫出新的結(jié)論 ,無需證明.
(3)如圖,△AEF 中∠EAF=45°,AG⊥EF 于 G,且GF=2,GE=3,則 = .
【答案】(1)FG=BF+DG;(2)①EF2=BE2+FC2,理由見解析;②仍然成立;(3)15
【解析】
(1)把△AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP,可使AD與AB重合,再證明△AFG≌△AFP進(jìn)而得到PF=FG,即可得FG=BF+DG;
(2)①根據(jù)△AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知△ACF≌△ABG得到BG=FC,AG=AF,∠C=∠ABG,∠FAC=∠GAB,根據(jù)Rt△ABC中的AB=AC得到∠GBE=90°,所以GB2+BE2=GE2,證△AGE≌△AFE,利用EF=EG得到EF2=BE2+FC2;
②將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是G,同上的方法證得GC2+CF2=FG2,再設(shè)法利用SAS證得△AFG≌△AFE即可求解;
(3)將△AEG沿AE對(duì)折成△AEB,將△AFG沿AF對(duì)折成△AFD,延長(zhǎng)BE、DF相交于C,構(gòu)成正方形ABCD,在Rt△EFC中,利用勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng),即可求得AG的長(zhǎng),從而求得答案.
(1)∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,∠ADC=∠ABC=90°,
∴把△AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP,使AD與AB重合,
∴∠BAP=∠DAG,AP= AG,
∵∠BAD=90°,∠FAG=45°,
∴∠BAF+∠DAG=45°,
∴∠PAF=∠FAG=45°,
∵∠ADC=∠ABC=90°,
∴∠FBP=180°,點(diǎn)F、B、P共線,
在△AFG和△AFP中,
,
∴△AFG≌△AFP(SAS),
∴PF=FG,
即:FG=BF+DG;
(2)①FC2+BE2=EF2,證明如下:
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=∠ABC=45°,
將△AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGB,
∴△ACF≌△ABG,
∴BG=FC,AG=AF,∠C=∠ABG=45°,∠FAC=∠GAB,
∴∠GBE=∠ABG +∠ABC =90°,
∴GB2+BE2=GE2,
又∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠FAC=45°,
∴∠GAB+∠BAE=45°,
即∠GAE=45°,
在△AGE和△AFE中,
,
∴△AGE≌△AFE(SAS),
∴GE=EF,
∴FC2+BE2=EF2;
②仍然成立,理由如下:
如圖,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,
∴△ACG≌△ABE,
∴CG=BE,AG=AE,∠ACG=∠ABE=45°,∠BAE=∠CAG,
∴∠GCB=∠ACB +∠ACG =90°,即∠GCF=90°,
∴GC2+CF2=FG2,
∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°,
∴∠CAG+∠EAC=90°,
又∵∠EAF=45°,
∴∠GAF=90°-∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠EAF=45°,
在△AFG和△AFE中,
,
∴△AFG≌△AFE(SAS),
∴GF=EF,
∴FC2+BE2=EF2;
(3)將△AEG沿AE對(duì)折成△AEB,將△AFG沿AF對(duì)折成△AFD,延長(zhǎng)BE、DF相交于C,
∴△AEG△AEB,△AFG△AFD,
∴AB=AG=AD,BE=EG=3,DF=FG=2,∠EAG=∠EAB,∠FAG=∠FAD,∠B=∠D=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAB+∠FAD=∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°,
∴∠BAD=90°,
∴四邊形ABCD為正方形,
設(shè)AG =,則AB=BC=CD=,
在Rt△EFC中,EF=3+2=5,EC=BC-BE=,FC=CD-DF=,
∴,
故,
解得:(舍去),,
∴AG=6,
∴.
故答案為:15.
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解:因?yàn)?/span>a+b=3,ab=1
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所以a2+b2+2ab=9,2ab=2
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