【題目】已知∠MON = 50°,OE 平分∠MON,點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)(A、B、C不與點(diǎn)O重合),連接AC交射線OE于點(diǎn)D、設(shè)∠OAC = x°.
(1)如圖①,若AB//ON,
①則∠ABO 的度數(shù)是________;
②當(dāng)∠BAD =∠ABD 時(shí),x=_______;當(dāng)∠BAD = ∠BDA 時(shí),x=________.
(2)如圖②,若AB⊥OE,則是否存在這樣的x值,使得 △ABD 中有一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍.存在,直接寫出x的值;不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)①25°,②105,52.5;(2)存在,x的值為20,110,5,125,35,95.
【解析】
(1)利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵,利用三角形的內(nèi)角和定理及其推論計(jì)算求解即可.
(2)按點(diǎn)D在線段OB上或OB的延長(zhǎng)線上分兩大類,再根據(jù)△ABD 中有一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍的三種可能性再分類,利用三角形的內(nèi)角和及其推論分別求解計(jì)算即可.
解:(1)①∵∠MON=50°,OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=25°
∵AB∥ON∴∠ABO=25°
②當(dāng)∠BAD=∠ABD,則∠BAD=25°
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°
∴∠AOB+∠ABO+∠OAC+∠BAD=180°
∴∠OAC=180°-∠AOB-∠ABO-∠BAD =180°-25°-25°-25°=105°
當(dāng)∠BAD=∠BDA,∵∠ABO=25°
∴∠BAD=77.5°
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°
∴∠OAB=180°-∠ABO-∠AOB=180°-25°-25°=130°
∴∠OAC=∠OAB-∠BAD=130°-77.5°=52.5°
故答案為:①25°;②105,52.5;
(2)存在,推導(dǎo)如下
當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí),如圖③所示:
圖③
i)當(dāng)∠ABD=2∠DAB=90°時(shí),則∠ADB=∠DAB=45°,
∵∠AOD+∠OAC=∠ADB,
∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=45°-25°=20°,
ii)當(dāng)∠ADB=2∠DAB時(shí),∵∠ABD=90°,∴∠ADB=60°,
∵∠AOD+∠OAC=∠ADB,
∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=60°-25°=35°,
iii) 當(dāng)∠DAB=2∠ADB時(shí), ∵∠ABD=90°,∴∠ADB=30°,
∵∠AOD+∠OAC=∠ADB,
∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=30°-25°=5°.
當(dāng)點(diǎn)D在線段OB延長(zhǎng)線上時(shí),如圖③所示:
圖③
i)當(dāng)∠ABD=2∠DAB=90°時(shí),則∠ADB=∠DAB=45°,
∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,
∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-45°=110°;
ii)當(dāng)∠ADB=2∠DAB時(shí),∵∠ABD=90°,∴∠ADB=60°,
∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,
∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-60°=95°;
iii) 當(dāng)∠DAB=2∠ADB時(shí), ∵∠ABD=90°,∴∠ADB=30°,
∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,
∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-30°=125°;
綜上所述,存在這樣的∠OAC,使得 △ABD 中有一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍,其值x
為20,110,5,125,35,95.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形OACB的頂點(diǎn)O在原點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣1,則頂點(diǎn)A坐標(biāo)是( )
A.(2,1)
B.(1,﹣2)
C.(1,2)
D.(2,﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:點(diǎn)E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)如圖1,若△ABC是等邊三角形,以CE為邊在BC的同側(cè)作等邊△DEC,連結(jié)AD.試比較∠DAC與∠B的大小,并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,若△ABC中,AB=AC,以CE為底邊在BC的同側(cè)作等腰△DEC,且△DEC∽△ABC,連結(jié)AD.試判斷AD與BC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)如圖3,若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,以CE為邊在BC的同側(cè)作正方形ECGF.
①試說(shuō)明點(diǎn)G一定在AD的延長(zhǎng)線上;
②當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)F隨之運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1,畫出△AB1C1;
(2)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-2),則點(diǎn)B2的坐標(biāo)為_________.
(3)若△A2B2C2可看作是由△AB1C1繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、B兩個(gè)碼頭分別在一條河的兩岸AC、BD上,河岸AC、BD均為東西走向,一艘客輪以每小時(shí)30千米的速度由A碼頭出發(fā)沿北偏東50°的方向航行至B碼頭,用時(shí)1.2小時(shí),求該河的寬度(結(jié)果精確到1千米)
【參考數(shù)據(jù):sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20】
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn).
(1)如圖1,BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D,求證:EF=(AC﹣AB);
(2)如圖2,請(qǐng)直接寫出線段AB、AC、EF之間的數(shù)量關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,以下結(jié)論:①∠AED=90°;②點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn);③DE=BE;④AD=AB+CD;其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【題目】已知拋物線C:y=x2﹣2x+1的頂點(diǎn)為P,與y軸的交點(diǎn)為Q,點(diǎn)F(1, ).
(1)求tan∠OPQ的值;
(2)將拋物線C向上平移得到拋物線C′,點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′,且FQ′=OQ′.
①求拋物線C′的解析式;
②若點(diǎn)P關(guān)于直線Q′F的對(duì)稱點(diǎn)為K,射線FK與拋物線C′相交于點(diǎn)A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,OF∥BC交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連接AF;
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由.
(2)若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長(zhǎng).
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