【題目】已知:點(diǎn)E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)如圖1,若△ABC是等邊三角形,以CE為邊在BC的同側(cè)作等邊△DEC,連結(jié)AD.試比較∠DAC與∠B的大小,并說明理由;

(2)如圖2,若△ABC中,AB=AC,以CE為底邊在BC的同側(cè)作等腰△DEC,且△DEC∽△ABC,連結(jié)AD.試判斷AD與BC的位置關(guān)系,并說明理由;

(3)如圖3,若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,以CE為邊在BC的同側(cè)作正方形ECGF.
①試說明點(diǎn)G一定在AD的延長(zhǎng)線上;
②當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)F隨之運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

【答案】
(1)解:∠DAC=∠B

理由如下:

∵△ABC和△DEC都是等邊三角形

∴∠DCE=∠ACB=60°

∴∠BCE=∠ACD

在△BEC和△ADC中,

∴△BCE≌△ACD.

∴∠B=∠DAC


(2)解:AD∥BC

理由如下:

∵△ABC和△DEC都是等腰三角形,且△DEC∽△ABC

∵∠DCE=∠ACB,

∴∠DCA=∠ECB.

∴△DCA∽△ECB.

∴∠DAC=∠EBC=∠ACB.

∴AD∥BC


(3)解:①連結(jié)DG.

∵四邊形ABCD和FECG都是正方形

∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°.

∴∠BCE=∠DCG.

∴△BCE≌△DCG.

∴∠B=∠CDG=90°.

∵∠ADC=90°.

∴∠ADC+∠CDG=180°

∴點(diǎn)G一定在AD的延長(zhǎng)線上.

②作FH⊥AG于點(diǎn)H.

∵∠BCE+ECD=90°,∠ECD+DCG=90°,

∴∠BCE=∠GCD.

∵∠GCD+∠CGD=90°,∠CGD+∠FGH=90°

∴∠FGH=∠GCD.

∴∠BCE=∠FGH=∠GCD.

在△FHG和△GDC和△EBC中,

,

∴△FHG≌△GDC≌△EBC,

∴FH=BE=DG,HG=BC,

∴AH=AG﹣GH=AD+DG﹣GH=BC+DG﹣BC=DG=FH,

∴△AFH是等腰直角三角形,

∴∠FAG=45°.

∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=AC= =2


【解析】(1)可觀察后猜想兩角相等,須證兩角所在的三角形全等,即△BCE≌△ACD,得出∠B=∠DAC;(2)類比(1)的方法,觀察圖形,可猜想△DEC∽△ABC,進(jìn)而證出△DCA∽△ECB,得出∠DAC=∠EBC=∠ACB,AD∥BC;(3)先研究起始位置A,由△FHG≌△GDC≌△EBC,可得△AFH是等腰直角三角形,F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檠嘏cAD夾角為45度方向移動(dòng),終點(diǎn)為F,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=AC,利用勾股定理求出.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí),掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形 OABC 的頂點(diǎn) AC 分別在 x 軸和 y 軸上,頂點(diǎn)B 在第一象限,OA//CB

1)如圖 1,若點(diǎn) A(6,0),B(4,3),點(diǎn) M y 軸上一點(diǎn),且 SBCM SAOM ,求點(diǎn) M的坐標(biāo);

2)如圖 2,點(diǎn) P x 軸上點(diǎn) A 左邊的一點(diǎn),連接 PB,∠PBC 和∠PAB 的角平分線交于點(diǎn)D,求證:∠ABP+2ADB=180°;

3)如圖 3,點(diǎn) P x 軸上點(diǎn) A 左邊的一點(diǎn),點(diǎn) Q 是射線 BC 上一點(diǎn),連接 PB、PQ,∠ABP和∠BQP 的平分線相交于點(diǎn) E,求的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】你知道什么是“低碳生活”嗎?“低碳生活”是指人們生活中盡量減少所耗能量,從而降低碳(特別是二氧化碳)的排放量的一種生活方式.

1)如果用xL)表示耗油量,用ykg)表示開私家車的二氧化碳排放量,則yx之間的關(guān)系式可表示為___________

2)在上述關(guān)系式中,耗油量每增加1L,二氧化碳排放量增加________kg.當(dāng)耗油量從10L增加到100L時(shí),二氧化碳排放量從________kg增加到________kg

3)小穎家本月家居用電的耗電量約為90kwh、開私家車的耗油量約為70L、天然氣使用量約20m、自來水使用量約6噸,請(qǐng)你計(jì)算一下小穎家本月這幾項(xiàng)的二氧化碳排放總量;

4)你打算從哪些小事做起踐行低碳生活?請(qǐng)直接寫出兩條.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】分如圖,在ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),分別連接BE、DF、BD.

(1)求證:△AEB≌△CFD;
(2)若四邊形EBFD是菱形,求∠ABD的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)(不含A,B),過B,C,E三點(diǎn)的圓與BD相交于點(diǎn)F,與CD相交于點(diǎn)G,與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)H.

(1)求證:四邊形EFCH是正方形;
(2)設(shè)BE=x,△CFG的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方,則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.

(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱            ;

(2)如圖1,已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O(0,0),A(3,0),B(0,4),請(qǐng)你直接寫出所有以格點(diǎn)為頂點(diǎn),OA、OB為勾股邊且有對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)如圖2,將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△DBE,連接AD、DC,∠DCB=30°.求證:DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.

(4)若將圖2中△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度(0°<a<90°),得到△DBE,連接AD、DC,則∠DCB=      °,四邊形ABCD是勾股四邊形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,線段ABx軸上點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)AB分別向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,分別得到點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,連接AC,BD,CD.得平行四邊形ABDC

1)補(bǔ)全圖形,直接寫出點(diǎn)C,D的坐標(biāo);

2)若在y軸上存在點(diǎn)M,連接MA,MB,使SMAB=S四邊形ABDC,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

3)若點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng),連接PC,PO.請(qǐng)畫出圖形,探索∠CPO、∠DCP、∠BOP的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知∠MON = 50°,OE 平分∠MON,點(diǎn)AB、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)(A、B、C不與點(diǎn)O重合),連接AC交射線OE于點(diǎn)D、設(shè)∠OAC = x°.


1)如圖①,若AB//ON

①則∠ABO 的度數(shù)是________;

②當(dāng)∠BAD =ABD 時(shí),x=_______;當(dāng)∠BAD = BDA 時(shí),x=________

2)如圖②,若ABOE,則是否存在這樣的x值,使得 ABD 中有一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍.存在,直接寫出x的值;不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2015年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費(fèi)50元/噸、建筑垃圾處理費(fèi)20元/噸的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),共支付餐廚和建筑垃圾處理費(fèi)7000元.從2016年元月起,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)上調(diào)為:餐廚垃圾處理費(fèi)120元/噸,建筑垃圾處理費(fèi)40元/噸.若該企業(yè)2016年處理的這兩種垃圾數(shù)量與2015年相比沒有變化,就要多支付垃圾處理費(fèi)8600元.
(1)該企業(yè)2015年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸?
(2)該企業(yè)計(jì)劃2016年將上述兩種垃圾處理總量減少到200噸,且建筑垃圾處理量不超過餐廚垃圾處理量的3倍,則2016年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費(fèi)共多少元?

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