Question

9．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BD=2，E、F分別是AD，CD上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），且AE+CF=2，則線段EF長(zhǎng)的取值范圍是$\sqrt{3}$≤EF≤2．

Answer 1

分析 由在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BD=2，易得△ABD、△CBD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，繼而證得△BDE≌△BCF（SAS），繼而證得△BEF是正三角形，繼而可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)A時(shí)，BE的最大，當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小．

解答 解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BD=2，
∴△ABD、△CBD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE=AD-AE=DE，
又∵BD=BC=2，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)A時(shí)，BE的最大值為2，
當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小值為$\sqrt{3}$，
∵EF=BE，
∴EF的最大值為2，最小值為$\sqrt{3}$．
∴線段EF長(zhǎng)的取值范圍是：$\sqrt{3}$≤EF≤2．
故答案為：$\sqrt{3}$≤EF≤2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△BDE≌△BCF是解此題的關(guān)鍵．