Question

9．定義：如果二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點（-1，0），那么稱此二次函數圖象為“線性曲線”．例如：二次函數y=2x²-5x-7和y=-x²+3x+4的圖象都是“線性曲線”．若“線性曲線”y=x²-mx+1-2k與坐標軸只有兩個公共點，則k的值0或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 拋物線與y軸一定有一個公共點，根據新定義得到拋物線y=x²-mx+1-2k經過點（-1，0），則分類討論：若拋物線過原點，則1-2k=0，可解得k=$\frac{1}{2}$；若點（-1，0）為頂點時，利用拋物線對稱軸方程易得m=-2，再根據二次函數圖象上點的坐標特征得到1+m+1-2k=0，然后把m=-2代入可計算出對應k的值．

解答 解：因為拋物線y=x²-mx+1-2k經過點（-1，0），
所以當拋物線過原點時，拋物線y=x²-mx+1-2k與坐標軸只有兩個公共點，此時1-2k=0，解得k=$\frac{1}{2}$；
當點（-1，0）為頂點時，拋物線y=x²-mx+1-2k與坐標軸只有兩個公共點，則-$\frac{-m}{2}$=-1，解得m=-2，
把（-1，0）代入y=x²-mx+1-2k得1+m+1-2k=0，
所以2-2-2k=0，解得k=0，
綜上所述，k的值為0或$\frac{1}{2}$．
故答案為0或$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數的性質．