Question

9．如圖所示，直角梯形ABCD中，以腰CD為直徑的⊙O₁恰與另一腰AB相切，求證：以腰AB為直徑的⊙O₂也與腰CD相切．

Answer 1

分析 首先證得O₂是⊙O₁的切點，然后過點O₂作O₂F⊥CD于點F，易證得△AO₂D≌△FO₂D，即可得O₂F=O₂A=$\frac{1}{2}$AB，則可判定CD與⊙O₂相切．

解答 證明：，設(shè)AB與⊙O₁的切點為E，連接OE，
∴OE⊥AB，
∵DA⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥O₁E∥BC，
∵O₁D=O₁C
∴O₁E是梯形ABCD的中位線，
∴E是AB的中點，
∴E與O₂重合，
∴O₁O₂=O₁D，
∴∠O₁O₂D=∠O₁DO₂，
∵AD∥O₁O₂，
∴∠ADO₂=∠DO₂O₁=∠O₂DO₁，
過點O₂作O₂F⊥CD于點F，
在△AO₂D和△FO₂D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DA{O}_{2}=∠{O}_{2}FD=90°}\\{∠AD{O}_{2}=∠{O}_{2}DF}\\{{O}_{2}D={O}_{2}D}\end{array}\right.$，
∴△AO₂D≌△FO₂D（AAS），
∴O₂F=O₂A=$\frac{1}{2}$AB，
即CD與⊙O₂相切．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，證得O₂是⊙O₁的切點是解題的關(guān)鍵．