Question

【題目】已知是的外接圓，是的直徑，過的中點(diǎn)作的直徑交弦于點(diǎn)，連接、、.

（1）如圖1，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求的度數(shù)；

（2）如圖2，在上取一點(diǎn)，使，求證：；

（3）如圖3，取的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，若，且，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理可得是的垂直平分線，又由點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得是的垂直平分線，進(jìn)而得出為等邊三角形，由直徑所對(duì)的圓周角是直角，可在Rt△ABC中根據(jù)角的運(yùn)算即可求出結(jié)果.

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，由得出邊角相等，進(jìn)而得出，得出四邊形是平行四邊形，得到.

（3）由點(diǎn)是中點(diǎn)，得出是中位線，如圖所示構(gòu)造輔助線，根據(jù)已知條件，運(yùn)用勾股定理列出方程，解出方程.

（1）解：連接

∵點(diǎn)是中點(diǎn)

∴

又∵

∴是的垂直平分線

又∵是中點(diǎn)

∴是的垂直平分線

∴

又∵

∴為等邊三角形

∴

∵是直徑

∴

∴

（2）證明：連接

由（1）可知

∵

∴

∴

∴

同理可知

∴

∴

∴

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴

（3）由（1）可知點(diǎn)是中點(diǎn)

∵點(diǎn)是中點(diǎn)

∴是中位線

即

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

延長交于點(diǎn)，連接，連接并延長交于點(diǎn)，連接和，延長和相交于點(diǎn).

∵

∴

∵是的直徑

∴

∴

∴

過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，

設(shè)則，，，，，，

∴

∵是的中位線

∴

在中

在中設(shè)，，，

在中，

在中解得（舍去）

，

∵

∴

∴

在中，，，

在中