Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖（1），已知：在三角形中，,,直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)，試寫出線段和之間的數(shù)量關(guān)系為_________________．

（2）思考探究：如圖（2），將圖（1）中的條件改為：在中, 三點(diǎn)都在直線上，并且，其中為任意銳角或鈍角．請問（1）中結(jié)論還是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展應(yīng)用：如圖（3），是三點(diǎn)所在直線上的兩動點(diǎn)，（三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且與均為等邊三角形，連接，若，試判斷的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DE=CE+BD；（2）成立，理由見解析；（3）△DEF為等邊三角形，理由見解析.

【解析】

（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而根據(jù)AAS證明△ABD與△CAE全等，然后進(jìn)一步求解即可；

（2）根據(jù)，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB與△CEA中，根據(jù)AAS證明二者全等從而得出AE=BD，AD=CE，然后進(jìn)一步證明即可；

（3）結(jié)合之前的結(jié)論可得△ADB與△CEA全等，從而得出BD=AE，∠DBA=∠CAE，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABF=∠CAF=60°，然后進(jìn)一步證明△DBF與△EAF全等，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明求解即可.

（1）∵直線，直線，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD與△CAE中，

∵∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠AEC，AB=AC，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD，

故答案為：DE=CE+BD；

（2）（1）中結(jié)論還仍然成立，理由如下：

∵，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB與△CEA中，

∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE，

即：DE=CE+BD，

（3）為等邊三角形，理由如下：

由（2）可知：△ADB≌△CEA，

∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF與△ACF均為等邊三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，

∴∠DBF=∠FAE，

在△DBF與△EAF中，

∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，

∴△DBF≌△EAF(SAS)，

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF為等邊三角形.