Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，過(guò)A，B，D三點(diǎn)的⊙O分別交BC，CD于點(diǎn)E，M，且CE=1，下列結(jié)論：①DM=CM；②；③⊙O的直徑為2；④AE=AD．其中正確的結(jié)論有_____（填序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

連接BD，BM，AM，EM，DE，由90度角所對(duì)的弦為直徑，得到BD為圓的直徑，再利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠BMD為直角，利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到ADMB為矩形，利用矩形的對(duì)邊相等得到AB=DM=1，而CD=2，得到CM=1，可得出M為DC的中點(diǎn)，即DM=CM，故選項(xiàng)①正確；由AB與MC平行且相等，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，得到四邊形AMCB為平行四邊形，可得出BE∥AM，由圓內(nèi)平行線所夾的弧相等，得出，故選項(xiàng)②正確；由AM=BC，BD=AM，等量代換得到BC=BD，由BD為圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到△DEC為直角三角形，由DC與EC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，設(shè)BE=x，則BD=BC=BE+EC=x+1，在Rt△BDE中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BC的長(zhǎng)，即為BD的長(zhǎng)，確定出圓的直徑，即可對(duì)于選項(xiàng)③作出判斷；在Rt△DEC中，由M為CD的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DM與EM相等，都等于DC的一半，用HL定理證明Rt△AEM≌Rt△ADM，即可對(duì)于選項(xiàng)④作出判斷．

解：(1)連接BD，BM，AM，EM，DE，

∵∠BAD=90°，

∴BD為圓的直徑，

∴∠BMD=90°，

∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，

∴四邊形ADMB矩形，

∴AB=DM=1，

又∵CD=2，

∴CM=1

∴DM=CM，

故①正確。

∵AB∥MC，AB=MC，

∴四邊形AMCB是平行四邊形，

∴BE∥AM，

∴，

故②正確。

∵AM=BC，又BD=AM，

∴BD=BC，

∵BD是直徑，

∴∠BED=90°，即∠DEC=90°，

又CE=1，CD=2，根據(jù)勾股定理得：DE==，

設(shè)BE=x，BD=BC=BE+EC=x+1，

在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即x2+=(x+1)2，

解得：x=1，

∴BD=2，

故③正確；

∵，

∴AB=EM=1，

∴DM=EM，

∵∠ADM=90，

∴AM是直徑，

∴∠AEM=∠ADM=90，

在Rt△AEM和Rt△ADM中，

，

∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），

故選項(xiàng)④正確；

故答案為：①②③④