Question

【題目】如圖，在中，，于點(diǎn)，，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，垂直于的直線從底邊出發(fā)，以每秒的速度沿方向勻速平移，分別交、、于點(diǎn)、、，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與直線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）.

（1）當(dāng)時(shí)，連接、，求證：四邊形為菱形；

（2）當(dāng)時(shí)，求的面積；

（3）是否存在某一時(shí)刻，使為以點(diǎn)或為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.此時(shí)，.

【解析】

（1）根據(jù)菱形的判定定理即可求解；

（2）由（1）知，故，故 ，可求得，

， 再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；

（3）根據(jù)題意分①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)， ②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)， 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

（1）證明：如圖1，當(dāng)時(shí)，，

則為的中點(diǎn)，又∵，

∴為的垂直平分線，∴，.

∵，∴.

∵，∴，，

∴，∴，

∴，即四邊形為菱形.

（2）如圖2，由（1）知，

∴，

∴，即，解得：，

，

；

（3）①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，如圖3①，

此時(shí)，，.

∵，∴，

即：，此比例式不成立，故不存在以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形；

②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，如圖3②，

此時(shí)，，，.

∵，∴，即：，

解得.故存在以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.此時(shí)，.