Question

如圖1，直角坐標系中，A點是第二象限內(nèi)一點，AB⊥x軸于B，且C（0，2）是y軸正半軸上一點，OB-OC=2，S_{四邊形ABOC}=11．


（1）求A點坐標；
（2）設(shè)D為線段OB上一動點，當∠COE=∠A時，CD與AC之間存在怎樣的位置關(guān)系，并證明；
（3）當D點在線段OB上運動時，連接AD、CD，如圖2，DE平分∠ADC，DP∥AB．則以下兩個結(jié)論：
①∠PDE的大小不變；
②

|∠OCD-∠BAD|

∠PDE

的大小不變．
其中只有一個結(jié)論是正確的，請你判斷哪個結(jié)論正確并說明理由．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形的面積,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）理由C點坐標得到OB=2+OC=4，則B點坐標為（-4，0），設(shè)A點坐標為（-4，b），根據(jù)梯形的面積公式得到

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，則A點坐標為（-4，

7

2

）；
（2）作CH⊥AB于H，如圖1，證明Rt△OCD∽Rt△HCA，理由相似比即可得到

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

=

1

2

；
（3）如圖2，由PD∥AB得到PD∥AB∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠PDA=∠BAD，∠PDC=∠OCD，則∠ADC=∠BAD+∠OCD，再利用角平分線的性質(zhì)得∠EDC=

1

2

∠ADC=

1

2

（∠BAD+∠OCD），所以∠PDE=|∠PDC-∠EDC|=|∠OCD-

1

2

（∠BAD+∠OCD）|=

1

2

|∠OCD-∠BAD|，則有

|∠OCD-∠BAD|

∠PDE

=2．

解答：解：（1）∵C（0，2），OB-OC=2，
∵OB=2+OC=2+2=4，
∴B點坐標為（-4，0），
設(shè)A點坐標為（-4，b），
∴

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，
∴A點坐標為（-4，

7

2

）；
（2）CD=

1

2

AC．理由如下：
作CH⊥AB于H，如圖1，
∴∠CDO=∠A，
∴Rt△OCD∽Rt△HCA，
∴

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

，
即CD=

1

2

AC；
（3）結(jié)論②正確．理由如下：
如圖2，∵PD∥AB，
∴PD∥AB∥OC，
∴∠PDA=∠BAD，∠PDC=∠OCD，
∴∠ADC=∠PDA+∠PDC=∠BAD+∠OCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=

1

2

∠ADC=

1

2

（∠BAD+∠OCD），
∴∠PDE=|∠PDC-∠EDC|=|∠OCD-

1

2

（∠BAD+∠OCD）|=

1

2

|∠OCD-∠BAD|，
∴

|∠OCD-∠BAD|

∠PDE

=2．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標求線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關(guān)系．也考查了相似的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．