Question

如圖1，已知OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)（不與O、A重合）BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q，過(guò)Q點(diǎn)作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R．

（1）證明：RP=RQ．
（2）請(qǐng)?zhí)骄肯铝凶兓��?br />A、變化一：交換題設(shè)與結(jié)論．已知：如圖1，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)（不與O、A重合），BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q，R是OA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且RP=RQ．證明：RQ為⊙O的切線．
B、變化二：運(yùn)動(dòng)探求．（1）如圖2，若OA向上平移，變化一中結(jié)論還成立嗎？（只交待判斷） 
答：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OQ，利用RQ為⊙O的切線，得出∠OQB+∠PQR=90°，根據(jù)半徑OB=OQ及OA⊥OB，得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，從而得∠PQR=∠QPR，證明結(jié)論；
（2）A，變化一的證明：與原命題的證明過(guò)程相反，由RP=RQ，可知∠PQR=∠QPR=∠BPO，再利用互余關(guān)系將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°即可；
B，成立，變化二的證明：仿照原命題的證明方法進(jìn)行即可．

解答：（1）證明：連接OQ，
∵RQ為⊙O的切線，
∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠PQR=∠BPO，
而∠BPO=∠QPR，
∴∠PQR=∠QPR，
∴RP=RQ；

（2）A，變化一：
證明：∵RP=RQ，
∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，
∴RQ為⊙O的切線；
B，變化二．若OA向上平移，變化一中的結(jié)論還成立，
理由如下同A，
故答案為：成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直的定義．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．